Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113946 / 17194
↖ ↑ ↗
← N 78.745300°
E132.962036°		 ← 59.61 m → N 78.745300°
E132.964783°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.744764°
E132.962036°		 ← 59.61 m →
3 551 m²		 N 78.744764°
E132.964783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869342803955078 y=0.131183624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869342803955078 × 217)
    floor (0.869342803955078 × 131072)
    floor (113946.5)     		tx = 113946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131183624267578 × 217)
    floor (0.131183624267578 × 131072)
    floor (17194.5)     		ty = 17194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113946 / 17194 ti = "17/113946/17194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113946/17194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113946 ÷ 217
    113946 ÷ 131072     		x = 0.869338989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17194 ÷ 217
    17194 ÷ 131072     		y = 0.131179809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869338989257812 × 2 - 1) × π
    0.738677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32062531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131179809570312 × 2 - 1) × π
    0.737640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31736560143275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32062531} λ = 2.32062531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31736560143275))-π/2
    2×atan(10.1489028031481)-π/2
    2×1.47258053907608-π/2
    2.94516107815217-1.57079632675     		φ = 1.37436475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32062531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.962036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37436475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113946 KachelY 17194 2.32062531 1.37436475 132.962036 78.745300
    Oben rechts KachelX + 1 113947 KachelY 17194 2.32067325 1.37436475 132.964783 78.745300
    Unten links KachelX 113946 KachelY + 1 17195 2.32062531 1.37435540 132.962036 78.744764
    Unten rechts KachelX + 1 113947 KachelY + 1 17195 2.32067325 1.37435540 132.964783 78.744764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37436475-1.37435540) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37436475-1.37435540) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32062531-2.32067325) × cos(1.37436475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195170781007413 × 6371000     		do = 59.6101802155281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32062531-2.32067325) × cos(1.37435540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195179951191582 × 6371000     		du = 59.6129810258136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37436475)-sin(1.37435540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195170781007413-0.195179951191582)×R²
    abs(2.32067325-2.32062531)×9.17018416832227e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17018416832227e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17018416832227e-06×40589641000000     		ar = 3550.99330427659m²