Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113938 / 17182
↖ ↑ ↗
← N 78.751731°
E132.940064°		 ← 59.56 m → N 78.751731°
E132.942810°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.751195°
E132.940064°		 ← 59.57 m →
3 548 m²		 N 78.751195°
E132.942810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869281768798828 y=0.131092071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869281768798828 × 217)
    floor (0.869281768798828 × 131072)
    floor (113938.5)     		tx = 113938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131092071533203 × 217)
    floor (0.131092071533203 × 131072)
    floor (17182.5)     		ty = 17182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113938 / 17182 ti = "17/113938/17182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113938/17182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113938 ÷ 217
    113938 ÷ 131072     		x = 0.869277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17182 ÷ 217
    17182 ÷ 131072     		y = 0.131088256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869277954101562 × 2 - 1) × π
    0.738555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32024182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131088256835938 × 2 - 1) × π
    0.737823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3179408442282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32024182} λ = 2.32024182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3179408442282))-π/2
    2×atan(10.1547425658469)-π/2
    2×1.47263665853617-π/2
    2.94527331707234-1.57079632675     		φ = 1.37447699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32024182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.940064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37447699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.751731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113938 KachelY 17182 2.32024182 1.37447699 132.940064 78.751731
    Oben rechts KachelX + 1 113939 KachelY 17182 2.32028975 1.37447699 132.942810 78.751731
    Unten links KachelX 113938 KachelY + 1 17183 2.32024182 1.37446764 132.940064 78.751195
    Unten rechts KachelX + 1 113939 KachelY + 1 17183 2.32028975 1.37446764 132.942810 78.751195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37447699-1.37446764) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37447699-1.37446764) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32024182-2.32028975) × cos(1.37447699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195060698235116 × 6371000     		do = 59.5641307863288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32024182-2.32028975) × cos(1.37446764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195069868624052 × 6371000     		du = 59.5669310749102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37447699)-sin(1.37446764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195060698235116-0.195069868624052)×R²
    abs(2.32028975-2.32024182)×9.17038893616384e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.17038893616384e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.17038893616384e-06×40589641000000     		ar = 3548.25017712642m²