Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113933 / 17179
↖ ↑ ↗
← N 78.753338°
E132.926331°		 ← 59.57 m → N 78.753338°
E132.929077°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.752802°
E132.926331°		 ← 59.57 m →
3 548 m²		 N 78.752802°
E132.929077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869243621826172 y=0.131069183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869243621826172 × 217)
    floor (0.869243621826172 × 131072)
    floor (113933.5)     		tx = 113933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131069183349609 × 217)
    floor (0.131069183349609 × 131072)
    floor (17179.5)     		ty = 17179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113933 / 17179 ti = "17/113933/17179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113933/17179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113933 ÷ 217
    113933 ÷ 131072     		x = 0.869239807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17179 ÷ 217
    17179 ÷ 131072     		y = 0.131065368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869239807128906 × 2 - 1) × π
    0.738479614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.32000213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131065368652344 × 2 - 1) × π
    0.737869262695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.31808465492706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32000213} λ = 2.32000213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31808465492706))-π/2
    2×atan(10.1562030314848)-π/2
    2×1.4726506834547-π/2
    2.9453013669094-1.57079632675     		φ = 1.37450504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32000213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.926331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37450504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.753338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113933 KachelY 17179 2.32000213 1.37450504 132.926331 78.753338
    Oben rechts KachelX + 1 113934 KachelY 17179 2.32005007 1.37450504 132.929077 78.753338
    Unten links KachelX 113933 KachelY + 1 17180 2.32000213 1.37449569 132.926331 78.752802
    Unten rechts KachelX + 1 113934 KachelY + 1 17180 2.32005007 1.37449569 132.929077 78.752802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37450504-1.37449569) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37450504-1.37449569) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32000213-2.32005007) × cos(1.37450504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195033186965994 × 6371000     		do = 59.568155453608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32000213-2.32005007) × cos(1.37449569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195042357406086 × 6371000     		du = 59.5709563420592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37450504)-sin(1.37449569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195033186965994-0.195042357406086)×R²
    abs(2.32005007-2.32000213)×9.17044009185464e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17044009185464e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17044009185464e-06×40589641000000     		ar = 3548.48993979668m²