Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113932 / 17172
↖ ↑ ↗
← N 78.757087°
E132.923584°		 ← 59.55 m → N 78.757087°
E132.926331°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.756551°
E132.923584°		 ← 59.55 m →
3 544 m²		 N 78.756551°
E132.926331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869235992431641 y=0.131015777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869235992431641 × 217)
    floor (0.869235992431641 × 131072)
    floor (113932.5)     		tx = 113932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131015777587891 × 217)
    floor (0.131015777587891 × 131072)
    floor (17172.5)     		ty = 17172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113932 / 17172 ti = "17/113932/17172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113932/17172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113932 ÷ 217
    113932 ÷ 131072     		x = 0.869232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17172 ÷ 217
    17172 ÷ 131072     		y = 0.131011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869232177734375 × 2 - 1) × π
    0.73846435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31995419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131011962890625 × 2 - 1) × π
    0.73797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3184202132244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31995419} λ = 2.31995419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3184202132244))-π/2
    2×atan(10.1596116015365)-π/2
    2×1.47268340057259-π/2
    2.94536680114519-1.57079632675     		φ = 1.37457047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31995419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.923584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37457047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.757087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113932 KachelY 17172 2.31995419 1.37457047 132.923584 78.757087
    Oben rechts KachelX + 1 113933 KachelY 17172 2.32000213 1.37457047 132.926331 78.757087
    Unten links KachelX 113932 KachelY + 1 17173 2.31995419 1.37456113 132.923584 78.756551
    Unten rechts KachelX + 1 113933 KachelY + 1 17173 2.32000213 1.37456113 132.926331 78.756551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37457047-1.37456113) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37457047-1.37456113) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31995419-2.32000213) × cos(1.37457047) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.194969013024176 × 6371000     		do = 59.5485550804912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31995419-2.32000213) × cos(1.37456113) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.194978173775491 × 6371000     		du = 59.5513530097405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37457047)-sin(1.37456113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194969013024176-0.194978173775491)×R²
    abs(2.32000213-2.31995419)×9.16075131482397e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.16075131482397e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.16075131482397e-06×40589641000000     		ar = 3543.52835261182m²