Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113931 / 17166
↖ ↑ ↗
← N 78.760299°
E132.920838°		 ← 59.52 m → N 78.760299°
E132.923584°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.759764°
E132.920838°		 ← 59.52 m →
3 542 m²		 N 78.759764°
E132.923584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869228363037109 y=0.130970001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869228363037109 × 217)
    floor (0.869228363037109 × 131072)
    floor (113931.5)     		tx = 113931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130970001220703 × 217)
    floor (0.130970001220703 × 131072)
    floor (17166.5)     		ty = 17166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113931 / 17166 ti = "17/113931/17166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113931/17166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113931 ÷ 217
    113931 ÷ 131072     		x = 0.869224548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17166 ÷ 217
    17166 ÷ 131072     		y = 0.130966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869224548339844 × 2 - 1) × π
    0.738449096679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.31990626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130966186523438 × 2 - 1) × π
    0.738067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31870783462212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31990626} λ = 2.31990626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31870783462212))-π/2
    2×atan(10.1625341434983)-π/2
    2×1.47271143524748-π/2
    2.94542287049497-1.57079632675     		φ = 1.37462654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31990626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.920838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37462654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.760299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113931 KachelY 17166 2.31990626 1.37462654 132.920838 78.760299
    Oben rechts KachelX + 1 113932 KachelY 17166 2.31995419 1.37462654 132.923584 78.760299
    Unten links KachelX 113931 KachelY + 1 17167 2.31990626 1.37461720 132.920838 78.759764
    Unten rechts KachelX + 1 113932 KachelY + 1 17167 2.31995419 1.37461720 132.923584 78.759764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37462654-1.37461720) × R
    9.3399999998578e-06 × 6371000     		dl = 59.505139999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37462654-1.37461720) × R
    9.3399999998578e-06 × 6371000     		dr = 59.505139999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31990626-2.31995419) × cos(1.37462654) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.194914018734533 × 6371000     		do = 59.5193404357199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31990626-2.31995419) × cos(1.37461720) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.194923179587939 × 6371000     		du = 59.5221378125127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37462654)-sin(1.37461720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194914018734533-0.194923179587939)×R²
    abs(2.31995419-2.31990626)×9.16085340668671e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.16085340668671e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.16085340668671e-06×40589641000000     		ar = 3541.78991433795m²