Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11393 / 23679
↖ ↑ ↗
← S 62.262810°
W 54.832763°		 ← 568.54 m → S 62.262810°
W 54.821778°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
S 62.267923°
W 54.832763°		 ← 568.45 m →
323 216 m²		 S 62.267923°
W 54.821778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347702026367188 y=0.722640991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347702026367188 × 215)
    floor (0.347702026367188 × 32768)
    floor (11393.5)     		tx = 11393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722640991210938 × 215)
    floor (0.722640991210938 × 32768)
    floor (23679.5)     		ty = 23679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11393 / 23679 ti = "15/11393/23679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11393/23679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11393 ÷ 215
    11393 ÷ 32768     		x = 0.347686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23679 ÷ 215
    23679 ÷ 32768     		y = 0.722625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.30462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95701226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.44525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39879873091324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95701226} λ = -0.95701226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39879873091324))-π/2
    2×atan(0.246893371248102)-π/2
    2×0.242052646752589-π/2
    0.484105293505178-1.57079632675     		φ = -1.08669103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95701226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.832763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08669103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.262810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11393 KachelY 23679 -0.95701226 -1.08669103 -54.832763 -62.262810
    Oben rechts KachelX + 1 11394 KachelY 23679 -0.95682052 -1.08669103 -54.821778 -62.262810
    Unten links KachelX 11393 KachelY + 1 23680 -0.95701226 -1.08678027 -54.832763 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 11394 KachelY + 1 23680 -0.95682052 -1.08678027 -54.821778 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08669103--1.08678027) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dl = 568.548040000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08669103--1.08678027) × R
    8.92400000001015e-05 × 6371000     		dr = 568.548040000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95701226--0.95682052) × cos(-1.08669103) × R
    0.000191739999999996 × 0.465416651443388 × 6371000     		do = 568.541597311936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95701226--0.95682052) × cos(-1.08678027) × R
    0.000191739999999996 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 568.445108190187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08669103)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465416651443388-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.95682052--0.95701226)×7.89874376077027e-05×R²
    0.000191739999999996×7.89874376077027e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.89874376077027e-05×40589641000000     		ar = 323215.781675072m²