Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113928 / 18024
↖ ↑ ↗
← N 78.291586°
E132.912598°		 ← 61.97 m → N 78.291586°
E132.915344°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.291028°
E132.912598°		 ← 61.97 m →
3 841 m²		 N 78.291028°
E132.915344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869205474853516 y=0.137516021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869205474853516 × 217)
    floor (0.869205474853516 × 131072)
    floor (113928.5)     		tx = 113928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137516021728516 × 217)
    floor (0.137516021728516 × 131072)
    floor (18024.5)     		ty = 18024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113928 / 18024 ti = "17/113928/18024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113928/18024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113928 ÷ 217
    113928 ÷ 131072     		x = 0.86920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18024 ÷ 217
    18024 ÷ 131072     		y = 0.13751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86920166015625 × 2 - 1) × π
    0.7384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31976245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13751220703125 × 2 - 1) × π
    0.7249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27757797474811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31976245} λ = 2.31976245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27757797474811))-π/2
    2×atan(9.75302969557223)-π/2
    2×1.46862113778814-π/2
    2.93724227557628-1.57079632675     		φ = 1.36644595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31976245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36644595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.291586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113928 KachelY 18024 2.31976245 1.36644595 132.912598 78.291586
    Oben rechts KachelX + 1 113929 KachelY 18024 2.31981038 1.36644595 132.915344 78.291586
    Unten links KachelX 113928 KachelY + 1 18025 2.31976245 1.36643622 132.912598 78.291028
    Unten rechts KachelX + 1 113929 KachelY + 1 18025 2.31981038 1.36643622 132.915344 78.291028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36644595-1.36643622) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36644595-1.36643622) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31976245-2.31981038) × cos(1.36644595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202931096261039 × 6371000     		do = 61.9674515044342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31976245-2.31981038) × cos(1.36643622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202940623799516 × 6371000     		du = 61.9703608529245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36644595)-sin(1.36643622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202931096261039-0.202940623799516)×R²
    abs(2.31981038-2.31976245)×9.52753847710541e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.52753847710541e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.52753847710541e-06×40589641000000     		ar = 3841.44195932417m²