Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1139 / 3282
↖ ↑ ↗
← S 72.867931°
W 79.892578°		 ← 2 878.88 m → S 72.867931°
W 79.804688°		 →
↑
2 876.76 m
↓
↑
2 876.76 m
↓
S 72.893802°
W 79.892578°		 ← 2 874.66 m →
8 275 785 m²		 S 72.893802°
W 79.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2781982421875 y=0.8013916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2781982421875 × 212)
    floor (0.2781982421875 × 4096)
    floor (1139.5)     		tx = 1139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8013916015625 × 212)
    floor (0.8013916015625 × 4096)
    floor (3282.5)     		ty = 3282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1139 / 3282 ti = "12/1139/3282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1139/3282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1139 ÷ 212
    1139 ÷ 4096     		x = 0.278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3282 ÷ 212
    3282 ÷ 4096     		y = 0.80126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39438854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80126953125 × 2 - 1) × π
    -0.6025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89293229219678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39438854} λ = -1.39438854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89293229219678))-π/2
    2×atan(0.150629470999009)-π/2
    2×0.149505510247814-π/2
    0.299011020495628-1.57079632675     		φ = -1.27178531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39438854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27178531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.867931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1139 KachelY 3282 -1.39438854 -1.27178531 -79.892578 -72.867931
    Oben rechts KachelX + 1 1140 KachelY 3282 -1.39285456 -1.27178531 -79.804688 -72.867931
    Unten links KachelX 1139 KachelY + 1 3283 -1.39438854 -1.27223685 -79.892578 -72.893802
    Unten rechts KachelX + 1 1140 KachelY + 1 3283 -1.39285456 -1.27223685 -79.804688 -72.893802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27178531--1.27223685) × R
    0.000451540000000028 × 6371000     		dl = 2876.76134000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27178531--1.27223685) × R
    0.000451540000000028 × 6371000     		dr = 2876.76134000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39438854--1.39285456) × cos(-1.27178531) × R
    0.00153398000000005 × 0.29457525055005 × 6371000     		do = 2878.87997042587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39438854--1.39285456) × cos(-1.27223685) × R
    0.00153398000000005 × 0.29414371613804 × 6371000     		du = 2874.66259040848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27178531)-sin(-1.27223685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29457525055005-0.29414371613804)×R²
    abs(-1.39285456--1.39438854)×0.000431534412010492×R²
    0.00153398000000005×0.000431534412010492×6371000²
    0.00153398000000005×0.000431534412010492×40589641000000     		ar = 8275784.54413436m²