Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1139 / 1225
↖ ↑ ↗
← S 33.284620°
E 20.214844°		 ← 16.340 km → S 33.284620°
E 20.390625°		 →
↑
16.326 km
↓
↑
16.326 km
↓
S 33.431441°
E 20.214844°		 ← 16.312 km →
266.531 km²		 S 33.431441°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556396484375 y=0.598388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556396484375 × 211)
    floor (0.556396484375 × 2048)
    floor (1139.5)     		tx = 1139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598388671875 × 211)
    floor (0.598388671875 × 2048)
    floor (1225.5)     		ty = 1225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1139 / 1225 ti = "11/1139/1225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1139/1225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1139 ÷ 211
    1139 ÷ 2048     		x = 0.55615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1225 ÷ 211
    1225 ÷ 2048     		y = 0.59814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55615234375 × 2 - 1) × π
    0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59814453125 × 2 - 1) × π
    -0.1962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.616660276712402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35281558} λ = 0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616660276712402))-π/2
    2×atan(0.539744026552238)-π/2
    2×0.494935059038744-π/2
    0.989870118077488-1.57079632675     		φ = -0.58092621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58092621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.284620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1139 KachelY 1225 0.35281558 -0.58092621 20.214844 -33.284620
    Oben rechts KachelX + 1 1140 KachelY 1225 0.35588354 -0.58092621 20.390625 -33.284620
    Unten links KachelX 1139 KachelY + 1 1226 0.35281558 -0.58348872 20.214844 -33.431441
    Unten rechts KachelX + 1 1140 KachelY + 1 1226 0.35588354 -0.58348872 20.390625 -33.431441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58092621--0.58348872) × R
    0.00256250999999996 × 6371000     		dl = 16325.7512099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58092621--0.58348872) × R
    0.00256250999999996 × 6371000     		dr = 16325.7512099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35281558-0.35588354) × cos(-0.58092621) × R
    0.00306795999999998 × 0.835954705951289 × 6371000     		do = 16339.5482454995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35281558-0.35588354) × cos(-0.58348872) × R
    0.00306795999999998 × 0.834545661366529 × 6371000     		du = 16312.0070978645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58092621)-sin(-0.58348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835954705951289-0.834545661366529)×R²
    abs(0.35588354-0.35281558)×0.00140904458475999×R²
    0.00306795999999998×0.00140904458475999×6371000²
    0.00306795999999998×0.00140904458475999×40589641000000     		ar = 266530730.424567m²