Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113894 / 19303
↖ ↑ ↗
← N 77.556900°
E132.819214°		 ← 65.81 m → N 77.556900°
E132.821961°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.556308°
E132.819214°		 ← 65.81 m →
4 331 m²		 N 77.556308°
E132.821961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868946075439453 y=0.147274017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868946075439453 × 217)
    floor (0.868946075439453 × 131072)
    floor (113894.5)     		tx = 113894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147274017333984 × 217)
    floor (0.147274017333984 × 131072)
    floor (19303.5)     		ty = 19303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113894 / 19303 ti = "17/113894/19303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113894/19303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113894 ÷ 217
    113894 ÷ 131072     		x = 0.868942260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19303 ÷ 217
    19303 ÷ 131072     		y = 0.147270202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868942260742188 × 2 - 1) × π
    0.737884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31813259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147270202636719 × 2 - 1) × π
    0.705459594726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21626668013406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31813259} λ = 2.31813259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21626668013406))-π/2
    2×atan(9.1730210392769)-π/2
    2×1.46220979269563-π/2
    2.92441958539126-1.57079632675     		φ = 1.35362326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31813259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.819214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35362326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.556900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113894 KachelY 19303 2.31813259 1.35362326 132.819214 77.556900
    Oben rechts KachelX + 1 113895 KachelY 19303 2.31818053 1.35362326 132.821961 77.556900
    Unten links KachelX 113894 KachelY + 1 19304 2.31813259 1.35361293 132.819214 77.556308
    Unten rechts KachelX + 1 113895 KachelY + 1 19304 2.31818053 1.35361293 132.821961 77.556308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35362326-1.35361293) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35362326-1.35361293) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31813259-2.31818053) × cos(1.35362326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215469957855052 × 6371000     		do = 65.810071325605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31813259-2.31818053) × cos(1.35361293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215480045196707 × 6371000     		du = 65.8131522593945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35362326)-sin(1.35361293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215469957855052-0.215480045196707)×R²
    abs(2.31818053-2.31813259)×1.00873416546965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00873416546965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00873416546965e-05×40589641000000     		ar = 4331.22209433838m²