Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113889 / 19297
↖ ↑ ↗
← N 77.560450°
E132.805481°		 ← 65.78 m → N 77.560450°
E132.808227°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.559859°
E132.805481°		 ← 65.78 m →
4 325 m²		 N 77.559859°
E132.808227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868907928466797 y=0.147228240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868907928466797 × 217)
    floor (0.868907928466797 × 131072)
    floor (113889.5)     		tx = 113889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147228240966797 × 217)
    floor (0.147228240966797 × 131072)
    floor (19297.5)     		ty = 19297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113889 / 19297 ti = "17/113889/19297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113889/19297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113889 ÷ 217
    113889 ÷ 131072     		x = 0.868904113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19297 ÷ 217
    19297 ÷ 131072     		y = 0.147224426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868904113769531 × 2 - 1) × π
    0.737808227539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.31789291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147224426269531 × 2 - 1) × π
    0.705551147460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21655430153178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31789291} λ = 2.31789291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21655430153178))-π/2
    2×atan(9.17565977586989)-π/2
    2×1.46224077522987-π/2
    2.92448155045974-1.57079632675     		φ = 1.35368522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31789291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.805481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35368522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.560450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113889 KachelY 19297 2.31789291 1.35368522 132.805481 77.560450
    Oben rechts KachelX + 1 113890 KachelY 19297 2.31794084 1.35368522 132.808227 77.560450
    Unten links KachelX 113889 KachelY + 1 19298 2.31789291 1.35367490 132.805481 77.559859
    Unten rechts KachelX + 1 113890 KachelY + 1 19298 2.31794084 1.35367490 132.808227 77.559859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35368522-1.35367490) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dl = 65.7487200007589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35368522-1.35367490) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dr = 65.7487200007589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31789291-2.31794084) × cos(1.35368522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215409452852795 × 6371000     		do = 65.777867804359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31789291-2.31794084) × cos(1.35367490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215419530567128 × 6371000     		du = 65.7809451556656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35368522)-sin(1.35367490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215409452852795-0.215419530567128)×R²
    abs(2.31794084-2.31789291)×1.0077714333534e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0077714333534e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0077714333534e-05×40589641000000     		ar = 4324.91177849726m²