Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113885 / 19293
↖ ↑ ↗
← N 77.562816°
E132.794495°		 ← 65.78 m → N 77.562816°
E132.797241°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.562225°
E132.794495°		 ← 65.78 m →
4 325 m²		 N 77.562225°
E132.797241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868877410888672 y=0.147197723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868877410888672 × 217)
    floor (0.868877410888672 × 131072)
    floor (113885.5)     		tx = 113885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147197723388672 × 217)
    floor (0.147197723388672 × 131072)
    floor (19293.5)     		ty = 19293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113885 / 19293 ti = "17/113885/19293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113885/19293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113885 ÷ 217
    113885 ÷ 131072     		x = 0.868873596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19293 ÷ 217
    19293 ÷ 131072     		y = 0.147193908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868873596191406 × 2 - 1) × π
    0.737747192382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.31770116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147193908691406 × 2 - 1) × π
    0.705612182617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.21674604913026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31770116} λ = 2.31770116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21674604913026))-π/2
    2×atan(9.17741935528856)-π/2
    2×1.46226142541876-π/2
    2.92452285083753-1.57079632675     		φ = 1.35372652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31770116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.794495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35372652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.562816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113885 KachelY 19293 2.31770116 1.35372652 132.794495 77.562816
    Oben rechts KachelX + 1 113886 KachelY 19293 2.31774910 1.35372652 132.797241 77.562816
    Unten links KachelX 113885 KachelY + 1 19294 2.31770116 1.35371620 132.794495 77.562225
    Unten rechts KachelX + 1 113886 KachelY + 1 19294 2.31774910 1.35371620 132.797241 77.562225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35372652-1.35371620) × R
    1.03199999998971e-05 × 6371000     		dl = 65.7487199993443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35372652-1.35371620) × R
    1.03199999998971e-05 × 6371000     		dr = 65.7487199993443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31770116-2.31774910) × cos(1.35372652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215369122235401 × 6371000     		do = 65.7792735318548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31770116-2.31774910) × cos(1.35371620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215379200041539 × 6371000     		du = 65.782351553252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35372652)-sin(1.35371620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215369122235401-0.215379200041539)×R²
    abs(2.31774910-2.31770116)×1.00778061378204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00778061378204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00778061378204e-05×40589641000000     		ar = 4325.00422507038m²