Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113884 / 17980
↖ ↑ ↗
← N 78.316084°
E132.791748°		 ← 61.85 m → N 78.316084°
E132.794495°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.315529°
E132.791748°		 ← 61.86 m →
3 822 m²		 N 78.315529°
E132.794495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868869781494141 y=0.137180328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868869781494141 × 217)
    floor (0.868869781494141 × 131072)
    floor (113884.5)     		tx = 113884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137180328369141 × 217)
    floor (0.137180328369141 × 131072)
    floor (17980.5)     		ty = 17980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113884 / 17980 ti = "17/113884/17980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113884/17980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113884 ÷ 217
    113884 ÷ 131072     		x = 0.868865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17980 ÷ 217
    17980 ÷ 131072     		y = 0.137176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868865966796875 × 2 - 1) × π
    0.73773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31765322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137176513671875 × 2 - 1) × π
    0.72564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27968719833139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31765322} λ = 2.31765322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27968719833139))-π/2
    2×atan(9.77362272583255)-π/2
    2×1.46883493045693-π/2
    2.93766986091386-1.57079632675     		φ = 1.36687353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31765322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36687353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.316084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113884 KachelY 17980 2.31765322 1.36687353 132.791748 78.316084
    Oben rechts KachelX + 1 113885 KachelY 17980 2.31770116 1.36687353 132.794495 78.316084
    Unten links KachelX 113884 KachelY + 1 17981 2.31765322 1.36686383 132.791748 78.315529
    Unten rechts KachelX + 1 113885 KachelY + 1 17981 2.31770116 1.36686383 132.794495 78.315529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36687353-1.36686383) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36687353-1.36686383) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31765322-2.31770116) × cos(1.36687353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202512394371955 × 6371000     		do = 61.8524979101856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31765322-2.31770116) × cos(1.36686383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202521893375514 × 6371000     		du = 61.8553991503769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36687353)-sin(1.36686383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202512394371955-0.202521893375514)×R²
    abs(2.31770116-2.31765322)×9.49900355906586e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49900355906586e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49900355906586e-06×40589641000000     		ar = 3822.49360914497m²