Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113882 / 17978
↖ ↑ ↗
← N 78.317197°
E132.786255°		 ← 61.85 m → N 78.317197°
E132.789002°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.316641°
E132.786255°		 ← 61.85 m →
3 826 m²		 N 78.316641°
E132.789002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868854522705078 y=0.137165069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868854522705078 × 217)
    floor (0.868854522705078 × 131072)
    floor (113882.5)     		tx = 113882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137165069580078 × 217)
    floor (0.137165069580078 × 131072)
    floor (17978.5)     		ty = 17978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113882 / 17978 ti = "17/113882/17978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113882/17978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113882 ÷ 217
    113882 ÷ 131072     		x = 0.868850708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17978 ÷ 217
    17978 ÷ 131072     		y = 0.137161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868850708007812 × 2 - 1) × π
    0.737701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31755735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137161254882812 × 2 - 1) × π
    0.725677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27978307213063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31755735} λ = 2.31755735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27978307213063))-π/2
    2×atan(9.77455980509558)-π/2
    2×1.46884463781735-π/2
    2.9376892756347-1.57079632675     		φ = 1.36689295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31755735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.786255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36689295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.317197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113882 KachelY 17978 2.31755735 1.36689295 132.786255 78.317197
    Oben rechts KachelX + 1 113883 KachelY 17978 2.31760529 1.36689295 132.789002 78.317197
    Unten links KachelX 113882 KachelY + 1 17979 2.31755735 1.36688324 132.786255 78.316641
    Unten rechts KachelX + 1 113883 KachelY + 1 17979 2.31760529 1.36688324 132.789002 78.316641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36689295-1.36688324) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36689295-1.36688324) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31755735-2.31760529) × cos(1.36689295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202493376722002 × 6371000     		do = 61.8466894303756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31755735-2.31760529) × cos(1.36688324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202502885556525 × 6371000     		du = 61.8495936731963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36689295)-sin(1.36688324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202493376722002-0.202502885556525)×R²
    abs(2.31760529-2.31755735)×9.50883452305318e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50883452305318e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50883452305318e-06×40589641000000     		ar = 3826.07509058015m²