Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113880 / 18068
↖ ↑ ↗
← N 78.267036°
E132.780762°		 ← 62.10 m → N 78.267036°
E132.783508°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.266478°
E132.780762°		 ← 62.10 m →
3 857 m²		 N 78.266478°
E132.783508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868839263916016 y=0.137851715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868839263916016 × 217)
    floor (0.868839263916016 × 131072)
    floor (113880.5)     		tx = 113880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137851715087891 × 217)
    floor (0.137851715087891 × 131072)
    floor (18068.5)     		ty = 18068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113880 / 18068 ti = "17/113880/18068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113880/18068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113880 ÷ 217
    113880 ÷ 131072     		x = 0.86883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18068 ÷ 217
    18068 ÷ 131072     		y = 0.137847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86883544921875 × 2 - 1) × π
    0.7376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31746148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137847900390625 × 2 - 1) × π
    0.72430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27546875116483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31746148} λ = 2.31746148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27546875116483))-π/2
    2×atan(9.73248005484178)-π/2
    2×1.46840690310917-π/2
    2.93681380621833-1.57079632675     		φ = 1.36601748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31746148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.780762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36601748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.267036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113880 KachelY 18068 2.31746148 1.36601748 132.780762 78.267036
    Oben rechts KachelX + 1 113881 KachelY 18068 2.31750941 1.36601748 132.783508 78.267036
    Unten links KachelX 113880 KachelY + 1 18069 2.31746148 1.36600773 132.780762 78.266478
    Unten rechts KachelX + 1 113881 KachelY + 1 18069 2.31750941 1.36600773 132.783508 78.266478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36601748-1.36600773) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36601748-1.36600773) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31746148-2.31750941) × cos(1.36601748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203350632453718 × 6371000     		do = 62.0955619278893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31746148-2.31750941) × cos(1.36600773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203360178727359 × 6371000     		du = 62.098476997387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36601748)-sin(1.36600773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203350632453718-0.203360178727359)×R²
    abs(2.31750941-2.31746148)×9.54627364041505e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.54627364041505e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.54627364041505e-06×40589641000000     		ar = 3857.2960821279m²