Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11387 / 23717
↖ ↑ ↗
← S 62.456487°
W 54.898682°		 ← 564.91 m → S 62.456487°
W 54.887695°		 →
↑
564.85 m
↓
↑
564.85 m
↓
S 62.461566°
W 54.898682°		 ← 564.82 m →
319 066 m²		 S 62.461566°
W 54.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347518920898438 y=0.723800659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347518920898438 × 215)
    floor (0.347518920898438 × 32768)
    floor (11387.5)     		tx = 11387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723800659179688 × 215)
    floor (0.723800659179688 × 32768)
    floor (23717.5)     		ty = 23717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11387 / 23717 ti = "15/11387/23717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11387/23717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11387 ÷ 215
    11387 ÷ 32768     		x = 0.347503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23717 ÷ 215
    23717 ÷ 32768     		y = 0.723785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.30499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95816275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.44757080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40608513965549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95816275} λ = -0.95816275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40608513965549))-π/2
    2×atan(0.245100943340878)-π/2
    2×0.240362497879921-π/2
    0.480724995759843-1.57079632675     		φ = -1.09007133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95816275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09007133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.456487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11387 KachelY 23717 -0.95816275 -1.09007133 -54.898682 -62.456487
    Oben rechts KachelX + 1 11388 KachelY 23717 -0.95797100 -1.09007133 -54.887695 -62.456487
    Unten links KachelX 11387 KachelY + 1 23718 -0.95816275 -1.09015999 -54.898682 -62.461566
    Unten rechts KachelX + 1 11388 KachelY + 1 23718 -0.95797100 -1.09015999 -54.887695 -62.461566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09007133--1.09015999) × R
    8.86600000000737e-05 × 6371000     		dl = 564.852860000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09007133--1.09015999) × R
    8.86600000000737e-05 × 6371000     		dr = 564.852860000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95816275--0.95797100) × cos(-1.09007133) × R
    0.000191749999999935 × 0.462422122600991 × 6371000     		do = 564.913015037492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95816275--0.95797100) × cos(-1.09015999) × R
    0.000191749999999935 × 0.46234350951679 × 6371000     		du = 564.816978208268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09007133)-sin(-1.09015999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462422122600991-0.46234350951679)×R²
    abs(-0.95797100--0.95816275)×7.86130842007626e-05×R²
    0.000191749999999935×7.86130842007626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.86130842007626e-05×40589641000000     		ar = 319065.609065747m²