Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113864 / 18089
↖ ↑ ↗
← N 78.255302°
E132.736816°		 ← 62.17 m → N 78.255302°
E132.739563°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.254742°
E132.736816°		 ← 62.17 m →
3 866 m²		 N 78.254742°
E132.739563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868717193603516 y=0.138011932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868717193603516 × 217)
    floor (0.868717193603516 × 131072)
    floor (113864.5)     		tx = 113864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138011932373047 × 217)
    floor (0.138011932373047 × 131072)
    floor (18089.5)     		ty = 18089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113864 / 18089 ti = "17/113864/18089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113864/18089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113864 ÷ 217
    113864 ÷ 131072     		x = 0.86871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18089 ÷ 217
    18089 ÷ 131072     		y = 0.138008117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86871337890625 × 2 - 1) × π
    0.7374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31669448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138008117675781 × 2 - 1) × π
    0.723983764648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2744620762728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31669448} λ = 2.31669448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2744620762728))-π/2
    2×atan(9.7226875412992)-π/2
    2×1.46830449866287-π/2
    2.93660899732574-1.57079632675     		φ = 1.36581267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31669448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.736816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36581267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.255302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113864 KachelY 18089 2.31669448 1.36581267 132.736816 78.255302
    Oben rechts KachelX + 1 113865 KachelY 18089 2.31674242 1.36581267 132.739563 78.255302
    Unten links KachelX 113864 KachelY + 1 18090 2.31669448 1.36580291 132.736816 78.254742
    Unten rechts KachelX + 1 113865 KachelY + 1 18090 2.31674242 1.36580291 132.739563 78.254742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36581267-1.36580291) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36581267-1.36580291) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31669448-2.31674242) × cos(1.36581267) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203551158883114 × 6371000     		do = 62.1697633302677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31669448-2.31674242) × cos(1.36580291) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203560714541097 × 6371000     		du = 62.1726818741785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36581267)-sin(1.36580291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203551158883114-0.203560714541097)×R²
    abs(2.31674242-2.31669448)×9.55565798349545e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.55565798349545e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.55565798349545e-06×40589641000000     		ar = 3865.86630600343m²