Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113864 / 18087
↖ ↑ ↗
← N 78.256419°
E132.736816°		 ← 62.16 m → N 78.256419°
E132.739563°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.255861°
E132.736816°		 ← 62.17 m →
3 862 m²		 N 78.255861°
E132.739563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868717193603516 y=0.137996673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868717193603516 × 217)
    floor (0.868717193603516 × 131072)
    floor (113864.5)     		tx = 113864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137996673583984 × 217)
    floor (0.137996673583984 × 131072)
    floor (18087.5)     		ty = 18087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113864 / 18087 ti = "17/113864/18087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113864/18087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113864 ÷ 217
    113864 ÷ 131072     		x = 0.86871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18087 ÷ 217
    18087 ÷ 131072     		y = 0.137992858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86871337890625 × 2 - 1) × π
    0.7374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31669448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137992858886719 × 2 - 1) × π
    0.724014282226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27455795007204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31669448} λ = 2.31669448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27455795007204))-π/2
    2×atan(9.72361973697846)-π/2
    2×1.46831425581637-π/2
    2.93662851163275-1.57079632675     		φ = 1.36583218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31669448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.736816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36583218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.256419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113864 KachelY 18087 2.31669448 1.36583218 132.736816 78.256419
    Oben rechts KachelX + 1 113865 KachelY 18087 2.31674242 1.36583218 132.739563 78.256419
    Unten links KachelX 113864 KachelY + 1 18088 2.31669448 1.36582243 132.736816 78.255861
    Unten rechts KachelX + 1 113865 KachelY + 1 18088 2.31674242 1.36582243 132.739563 78.255861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36583218-1.36582243) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36583218-1.36582243) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31669448-2.31674242) × cos(1.36583218) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203532057299661 × 6371000     		do = 62.1639292150064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31669448-2.31674242) × cos(1.36582243) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.20354160320574 × 6371000     		du = 62.1668447804347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36583218)-sin(1.36582243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203532057299661-0.20354160320574)×R²
    abs(2.31674242-2.31669448)×9.54590607937789e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.54590607937789e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.54590607937789e-06×40589641000000     		ar = 3861.54288565621m²