Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11386 / 23750
↖ ↑ ↗
← S 62.623668°
W 54.909668°		 ← 561.75 m → S 62.623668°
W 54.898682°		 →
↑
561.67 m
↓
↑
561.67 m
↓
S 62.628719°
W 54.909668°		 ← 561.65 m →
315 490 m²		 S 62.628719°
W 54.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347488403320312 y=0.724807739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347488403320312 × 215)
    floor (0.347488403320312 × 32768)
    floor (11386.5)     		tx = 11386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724807739257812 × 215)
    floor (0.724807739257812 × 32768)
    floor (23750.5)     		ty = 23750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11386 / 23750 ti = "15/11386/23750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11386/23750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11386 ÷ 215
    11386 ÷ 32768     		x = 0.34747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23750 ÷ 215
    23750 ÷ 32768     		y = 0.72479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.4495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41241281040533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95835450} λ = -0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41241281040533))-π/2
    2×atan(0.243554921787102)-π/2
    2×0.238903568973508-π/2
    0.477807137947015-1.57079632675     		φ = -1.09298919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09298919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.623668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11386 KachelY 23750 -0.95835450 -1.09298919 -54.909668 -62.623668
    Oben rechts KachelX + 1 11387 KachelY 23750 -0.95816275 -1.09298919 -54.898682 -62.623668
    Unten links KachelX 11386 KachelY + 1 23751 -0.95835450 -1.09307735 -54.909668 -62.628719
    Unten rechts KachelX + 1 11387 KachelY + 1 23751 -0.95816275 -1.09307735 -54.898682 -62.628719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09298919--1.09307735) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dl = 561.667360000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09298919--1.09307735) × R
    8.81600000000038e-05 × 6371000     		dr = 561.667360000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95835450--0.95816275) × cos(-1.09298919) × R
    0.000191750000000046 × 0.459833008304508 × 6371000     		do = 561.750051390498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95835450--0.95816275) × cos(-1.09307735) × R
    0.000191750000000046 × 0.459754719960895 × 6371000     		du = 561.654411277122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09298919)-sin(-1.09307735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459833008304508-0.459754719960895)×R²
    abs(-0.95816275--0.95835450)×7.82883436135084e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82883436135084e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82883436135084e-05×40589641000000     		ar = 315489.809584243m²