Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11386 / 23718
↖ ↑ ↗
← S 62.461566°
W 54.909668°		 ← 564.82 m → S 62.461566°
W 54.898682°		 →
↑
564.79 m
↓
↑
564.79 m
↓
S 62.466646°
W 54.909668°		 ← 564.72 m →
318 975 m²		 S 62.466646°
W 54.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347488403320312 y=0.723831176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347488403320312 × 215)
    floor (0.347488403320312 × 32768)
    floor (11386.5)     		tx = 11386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723831176757812 × 215)
    floor (0.723831176757812 × 32768)
    floor (23718.5)     		ty = 23718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11386 / 23718 ti = "15/11386/23718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11386/23718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11386 ÷ 215
    11386 ÷ 32768     		x = 0.34747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23718 ÷ 215
    23718 ÷ 32768     		y = 0.72381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.4476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40627688725397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95835450} λ = -0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40627688725397))-π/2
    2×atan(0.245053950329149)-π/2
    2×0.240318167482842-π/2
    0.480636334965684-1.57079632675     		φ = -1.09015999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09015999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.461566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11386 KachelY 23718 -0.95835450 -1.09015999 -54.909668 -62.461566
    Oben rechts KachelX + 1 11387 KachelY 23718 -0.95816275 -1.09015999 -54.898682 -62.461566
    Unten links KachelX 11386 KachelY + 1 23719 -0.95835450 -1.09024864 -54.909668 -62.466646
    Unten rechts KachelX + 1 11387 KachelY + 1 23719 -0.95816275 -1.09024864 -54.898682 -62.466646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09015999--1.09024864) × R
    8.86499999999124e-05 × 6371000     		dl = 564.789149999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09015999--1.09024864) × R
    8.86499999999124e-05 × 6371000     		dr = 564.789149999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95835450--0.95816275) × cos(-1.09015999) × R
    0.000191750000000046 × 0.46234350951679 × 6371000     		do = 564.816978208596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95835450--0.95816275) × cos(-1.09024864) × R
    0.000191750000000046 × 0.462264901665713 × 6371000     		du = 564.720947772361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09015999)-sin(-1.09024864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46234350951679-0.462264901665713)×R²
    abs(-0.95816275--0.95835450)×7.8607851077217e-05×R²
    0.000191750000000046×7.8607851077217e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.8607851077217e-05×40589641000000     		ar = 318975.382761869m²