Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113859 / 18091
↖ ↑ ↗
← N 78.254183°
E132.723083°		 ← 62.18 m → N 78.254183°
E132.725830°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.253625°
E132.723083°		 ← 62.18 m →
3 862 m²		 N 78.253625°
E132.725830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868679046630859 y=0.138027191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868679046630859 × 217)
    floor (0.868679046630859 × 131072)
    floor (113859.5)     		tx = 113859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138027191162109 × 217)
    floor (0.138027191162109 × 131072)
    floor (18091.5)     		ty = 18091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113859 / 18091 ti = "17/113859/18091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113859/18091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113859 ÷ 217
    113859 ÷ 131072     		x = 0.868675231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18091 ÷ 217
    18091 ÷ 131072     		y = 0.138023376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868675231933594 × 2 - 1) × π
    0.737350463867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.31645480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138023376464844 × 2 - 1) × π
    0.723953247070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.27436620247356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31645480} λ = 2.31645480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27436620247356))-π/2
    2×atan(9.72175543498879)-π/2
    2×1.46829474059346-π/2
    2.93658948118691-1.57079632675     		φ = 1.36579315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31645480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.723083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36579315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.254183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113859 KachelY 18091 2.31645480 1.36579315 132.723083 78.254183
    Oben rechts KachelX + 1 113860 KachelY 18091 2.31650274 1.36579315 132.725830 78.254183
    Unten links KachelX 113859 KachelY + 1 18092 2.31645480 1.36578340 132.723083 78.253625
    Unten rechts KachelX + 1 113860 KachelY + 1 18092 2.31650274 1.36578340 132.725830 78.253625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36579315-1.36578340) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36579315-1.36578340) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31645480-2.31650274) × cos(1.36579315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20357027017969 × 6371000     		do = 62.1756004115909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31645480-2.31650274) × cos(1.36578340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203579816008308 × 6371000     		du = 62.1785159533604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36579315)-sin(1.36578340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20357027017969-0.203579816008308)×R²
    abs(2.31650274-2.31645480)×9.54582861770192e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54582861770192e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54582861770192e-06×40589641000000     		ar = 3862.2678675385m²