Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113851 / 17919
↖ ↑ ↗
← N 78.349965°
E132.701111°		 ← 61.66 m → N 78.349965°
E132.703857°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.349410°
E132.701111°		 ← 61.67 m →
3 803 m²		 N 78.349410°
E132.703857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868618011474609 y=0.136714935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868618011474609 × 217)
    floor (0.868618011474609 × 131072)
    floor (113851.5)     		tx = 113851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136714935302734 × 217)
    floor (0.136714935302734 × 131072)
    floor (17919.5)     		ty = 17919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113851 / 17919 ti = "17/113851/17919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113851/17919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113851 ÷ 217
    113851 ÷ 131072     		x = 0.868614196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17919 ÷ 217
    17919 ÷ 131072     		y = 0.136711120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868614196777344 × 2 - 1) × π
    0.737228393554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.31607131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136711120605469 × 2 - 1) × π
    0.726577758789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.28261134920821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31607131} λ = 2.31607131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28261134920821))-π/2
    2×atan(9.80224409950921)-π/2
    2×1.46913059530226-π/2
    2.93826119060452-1.57079632675     		φ = 1.36746486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31607131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.701111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36746486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113851 KachelY 17919 2.31607131 1.36746486 132.701111 78.349965
    Oben rechts KachelX + 1 113852 KachelY 17919 2.31611924 1.36746486 132.703857 78.349965
    Unten links KachelX 113851 KachelY + 1 17920 2.31607131 1.36745518 132.701111 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 113852 KachelY + 1 17920 2.31611924 1.36745518 132.703857 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36746486-1.36745518) × R
    9.67999999978986e-06 × 6371000     		dl = 61.6712799986612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36746486-1.36745518) × R
    9.67999999978986e-06 × 6371000     		dr = 61.6712799986612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31607131-2.31611924) × cos(1.36746486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201933281534543 × 6371000     		do = 61.6627567739874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31607131-2.31611924) × cos(1.36745518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 61.665651781789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36746486)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201933281534543-0.201942762110113)×R²
    abs(2.31611924-2.31607131)×9.4805755699312e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.4805755699312e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.4805755699312e-06×40589641000000     		ar = 3802.91040805767m²