Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113835 / 18005
↖ ↑ ↗
← N 78.302171°
E132.657165°		 ← 61.93 m → N 78.302171°
E132.659912°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.301614°
E132.657165°		 ← 61.93 m →
3 835 m²		 N 78.301614°
E132.659912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868495941162109 y=0.137371063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868495941162109 × 217)
    floor (0.868495941162109 × 131072)
    floor (113835.5)     		tx = 113835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137371063232422 × 217)
    floor (0.137371063232422 × 131072)
    floor (18005.5)     		ty = 18005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113835 / 18005 ti = "17/113835/18005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113835/18005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113835 ÷ 217
    113835 ÷ 131072     		x = 0.868492126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18005 ÷ 217
    18005 ÷ 131072     		y = 0.137367248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868492126464844 × 2 - 1) × π
    0.736984252929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.31530431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137367248535156 × 2 - 1) × π
    0.725265502929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.27848877584089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31530431} λ = 2.31530431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27848877584089))-π/2
    2×atan(9.76191681226031)-π/2
    2×1.46871351152239-π/2
    2.93742702304478-1.57079632675     		φ = 1.36663070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31530431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.657165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36663070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.302171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113835 KachelY 18005 2.31530431 1.36663070 132.657165 78.302171
    Oben rechts KachelX + 1 113836 KachelY 18005 2.31535225 1.36663070 132.659912 78.302171
    Unten links KachelX 113835 KachelY + 1 18006 2.31530431 1.36662098 132.657165 78.301614
    Unten rechts KachelX + 1 113836 KachelY + 1 18006 2.31535225 1.36662098 132.659912 78.301614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36663070-1.36662098) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36663070-1.36662098) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31530431-2.31535225) × cos(1.36663070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202750186888367 × 6371000     		do = 61.9251258654772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31530431-2.31535225) × cos(1.36662098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202759704999197 × 6371000     		du = 61.928032941521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36663070)-sin(1.36662098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202750186888367-0.202759704999197)×R²
    abs(2.31535225-2.31530431)×9.51811083038656e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51811083038656e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51811083038656e-06×40589641000000     		ar = 3834.87278742591m²