Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113830 / 18002
↖ ↑ ↗
← N 78.303841°
E132.643433°		 ← 61.92 m → N 78.303841°
E132.646179°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.303285°
E132.643433°		 ← 61.92 m →
3 834 m²		 N 78.303285°
E132.646179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868457794189453 y=0.137348175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868457794189453 × 217)
    floor (0.868457794189453 × 131072)
    floor (113830.5)     		tx = 113830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137348175048828 × 217)
    floor (0.137348175048828 × 131072)
    floor (18002.5)     		ty = 18002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113830 / 18002 ti = "17/113830/18002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113830/18002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113830 ÷ 217
    113830 ÷ 131072     		x = 0.868453979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18002 ÷ 217
    18002 ÷ 131072     		y = 0.137344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868453979492188 × 2 - 1) × π
    0.736907958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31506463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137344360351562 × 2 - 1) × π
    0.725311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27863258653975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31506463} λ = 2.31506463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27863258653975))-π/2
    2×atan(9.76332078128976)-π/2
    2×1.46872808931921-π/2
    2.93745617863842-1.57079632675     		φ = 1.36665985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31506463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.643433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36665985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.303841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113830 KachelY 18002 2.31506463 1.36665985 132.643433 78.303841
    Oben rechts KachelX + 1 113831 KachelY 18002 2.31511257 1.36665985 132.646179 78.303841
    Unten links KachelX 113830 KachelY + 1 18003 2.31506463 1.36665013 132.643433 78.303285
    Unten rechts KachelX + 1 113831 KachelY + 1 18003 2.31511257 1.36665013 132.646179 78.303285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36665985-1.36665013) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36665985-1.36665013) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31506463-2.31511257) × cos(1.36665985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20272164223331 × 6371000     		do = 61.9164075930835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31506463-2.31511257) × cos(1.36665013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202731160401585 × 6371000     		du = 61.9193146866722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36665985)-sin(1.36665013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20272164223331-0.202731160401585)×R²
    abs(2.31511257-2.31506463)×9.5181682745471e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.5181682745471e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.5181682745471e-06×40589641000000     		ar = 3834.33289905106m²