Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11383 / 23722
↖ ↑ ↗
← S 62.481877°
W 54.942627°		 ← 564.43 m → S 62.481877°
W 54.931640°		 →
↑
564.41 m
↓
↑
564.41 m
↓
S 62.486953°
W 54.942627°		 ← 564.34 m →
318 543 m²		 S 62.486953°
W 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347396850585938 y=0.723953247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347396850585938 × 215)
    floor (0.347396850585938 × 32768)
    floor (11383.5)     		tx = 11383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723953247070312 × 215)
    floor (0.723953247070312 × 32768)
    floor (23722.5)     		ty = 23722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11383 / 23722 ti = "15/11383/23722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11383/23722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11383 ÷ 215
    11383 ÷ 32768     		x = 0.347381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23722 ÷ 215
    23722 ÷ 32768     		y = 0.72393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.30523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95892974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.4478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40704387764789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95892974} λ = -0.95892974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40704387764789))-π/2
    2×atan(0.244866068364296)-π/2
    2×0.240140921250554-π/2
    0.480281842501108-1.57079632675     		φ = -1.09051448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95892974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09051448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.481877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11383 KachelY 23722 -0.95892974 -1.09051448 -54.942627 -62.481877
    Oben rechts KachelX + 1 11384 KachelY 23722 -0.95873799 -1.09051448 -54.931640 -62.481877
    Unten links KachelX 11383 KachelY + 1 23723 -0.95892974 -1.09060307 -54.942627 -62.486953
    Unten rechts KachelX + 1 11384 KachelY + 1 23723 -0.95873799 -1.09060307 -54.931640 -62.486953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09051448--1.09060307) × R
    8.8590000000055e-05 × 6371000     		dl = 564.40689000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09051448--1.09060307) × R
    8.8590000000055e-05 × 6371000     		dr = 564.40689000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95892974--0.95873799) × cos(-1.09051448) × R
    0.000191749999999935 × 0.46202915387293 × 6371000     		do = 564.432949015269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95892974--0.95873799) × cos(-1.09060307) × R
    0.000191749999999935 × 0.461950584712974 × 6371000     		du = 564.336965845628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09051448)-sin(-1.09060307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46202915387293-0.461950584712974)×R²
    abs(-0.95873799--0.95892974)×7.85691599558547e-05×R²
    0.000191749999999935×7.85691599558547e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.85691599558547e-05×40589641000000     		ar = 318542.758794013m²