Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113829 / 18001
↖ ↑ ↗
← N 78.304398°
E132.640686°		 ← 61.91 m → N 78.304398°
E132.643433°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.303841°
E132.640686°		 ← 61.92 m →
3 834 m²		 N 78.303841°
E132.643433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868450164794922 y=0.137340545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868450164794922 × 217)
    floor (0.868450164794922 × 131072)
    floor (113829.5)     		tx = 113829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137340545654297 × 217)
    floor (0.137340545654297 × 131072)
    floor (18001.5)     		ty = 18001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113829 / 18001 ti = "17/113829/18001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113829/18001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113829 ÷ 217
    113829 ÷ 131072     		x = 0.868446350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18001 ÷ 217
    18001 ÷ 131072     		y = 0.137336730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868446350097656 × 2 - 1) × π
    0.736892700195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.31501669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137336730957031 × 2 - 1) × π
    0.725326538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27868052343937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31501669} λ = 2.31501669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27868052343937))-π/2
    2×atan(9.76378881583598)-π/2
    2×1.46873294812864-π/2
    2.93746589625727-1.57079632675     		φ = 1.36666957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31501669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.640686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36666957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113829 KachelY 18001 2.31501669 1.36666957 132.640686 78.304398
    Oben rechts KachelX + 1 113830 KachelY 18001 2.31506463 1.36666957 132.643433 78.304398
    Unten links KachelX 113829 KachelY + 1 18002 2.31501669 1.36665985 132.640686 78.303841
    Unten rechts KachelX + 1 113830 KachelY + 1 18002 2.31506463 1.36665985 132.643433 78.303841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36666957-1.36665985) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36666957-1.36665985) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31501669-2.31506463) × cos(1.36666957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202712124045883 × 6371000     		do = 61.913500493645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31501669-2.31506463) × cos(1.36665985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20272164223331 × 6371000     		du = 61.9164075930835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36666957)-sin(1.36665985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202712124045883-0.20272164223331)×R²
    abs(2.31506463-2.31501669)×9.51818742736532e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51818742736532e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51818742736532e-06×40589641000000     		ar = 3834.15287389743m²