Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113823 / 19355
↖ ↑ ↗
← N 77.526088°
E132.624206°		 ← 65.97 m → N 77.526088°
E132.626953°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.525495°
E132.624206°		 ← 65.97 m →
4 354 m²		 N 77.525495°
E132.626953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868404388427734 y=0.147670745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868404388427734 × 217)
    floor (0.868404388427734 × 131072)
    floor (113823.5)     		tx = 113823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147670745849609 × 217)
    floor (0.147670745849609 × 131072)
    floor (19355.5)     		ty = 19355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113823 / 19355 ti = "17/113823/19355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113823/19355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113823 ÷ 217
    113823 ÷ 131072     		x = 0.868400573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19355 ÷ 217
    19355 ÷ 131072     		y = 0.147666931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868400573730469 × 2 - 1) × π
    0.736801147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.31472907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147666931152344 × 2 - 1) × π
    0.704666137695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.21377396135381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31472907} λ = 2.31472907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21377396135381))-π/2
    2×atan(9.15018375275247)-π/2
    2×1.46194091258495-π/2
    2.9238818251699-1.57079632675     		φ = 1.35308550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31472907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.624206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35308550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.526088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113823 KachelY 19355 2.31472907 1.35308550 132.624206 77.526088
    Oben rechts KachelX + 1 113824 KachelY 19355 2.31477701 1.35308550 132.626953 77.526088
    Unten links KachelX 113823 KachelY + 1 19356 2.31472907 1.35307514 132.624206 77.525495
    Unten rechts KachelX + 1 113824 KachelY + 1 19356 2.31477701 1.35307514 132.626953 77.525495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35308550-1.35307514) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dl = 66.0035599992102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35308550-1.35307514) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dr = 66.0035599992102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31472907-2.31477701) × cos(1.35308550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215995054944454 × 6371000     		do = 65.9704494927072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31472907-2.31477701) × cos(1.35307514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21600517037944 × 6371000     		du = 65.9735390069232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35308550)-sin(1.35307514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215995054944454-0.21600517037944)×R²
    abs(2.31477701-2.31472907)×1.01154349859411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01154349859411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01154349859411e-05×40589641000000     		ar = 4354.3864809403m²