Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113812 / 19373
↖ ↑ ↗
← N 77.515406°
E132.593994°		 ← 66.01 m → N 77.515406°
E132.596741°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.514812°
E132.593994°		 ← 66.02 m →
4 361 m²		 N 77.514812°
E132.596741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868320465087891 y=0.147808074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868320465087891 × 217)
    floor (0.868320465087891 × 131072)
    floor (113812.5)     		tx = 113812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147808074951172 × 217)
    floor (0.147808074951172 × 131072)
    floor (19373.5)     		ty = 19373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113812 / 19373 ti = "17/113812/19373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113812/19373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113812 ÷ 217
    113812 ÷ 131072     		x = 0.868316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19373 ÷ 217
    19373 ÷ 131072     		y = 0.147804260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868316650390625 × 2 - 1) × π
    0.73663330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31420177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147804260253906 × 2 - 1) × π
    0.704391479492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.21291109716065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31420177} λ = 2.31420177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21291109716065))-π/2
    2×atan(9.14229179216613)-π/2
    2×1.46184768611946-π/2
    2.92369537223892-1.57079632675     		φ = 1.35289905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31420177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.593994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35289905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.515406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113812 KachelY 19373 2.31420177 1.35289905 132.593994 77.515406
    Oben rechts KachelX + 1 113813 KachelY 19373 2.31424970 1.35289905 132.596741 77.515406
    Unten links KachelX 113812 KachelY + 1 19374 2.31420177 1.35288868 132.593994 77.514812
    Unten rechts KachelX + 1 113813 KachelY + 1 19374 2.31424970 1.35288868 132.596741 77.514812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35289905-1.35288868) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35289905-1.35288868) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31420177-2.31424970) × cos(1.35289905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216177099935579 × 6371000     		do = 66.0122780758816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31420177-2.31424970) × cos(1.35288868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216187224716678 × 6371000     		du = 66.0153697995913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35289905)-sin(1.35288868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216177099935579-0.216187224716678)×R²
    abs(2.31424970-2.31420177)×1.01247810989913e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01247810989913e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01247810989913e-05×40589641000000     		ar = 4361.35312979728m²