Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11381 / 23755
↖ ↑ ↗
← S 62.648916°
W 54.964600°		 ← 561.27 m → S 62.648916°
W 54.953613°		 →
↑
561.22 m
↓
↑
561.22 m
↓
S 62.653963°
W 54.964600°		 ← 561.18 m →
314 971 m²		 S 62.653963°
W 54.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347335815429688 y=0.724960327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347335815429688 × 215)
    floor (0.347335815429688 × 32768)
    floor (11381.5)     		tx = 11381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724960327148438 × 215)
    floor (0.724960327148438 × 32768)
    floor (23755.5)     		ty = 23755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11381 / 23755 ti = "15/11381/23755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11381/23755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11381 ÷ 215
    11381 ÷ 32768     		x = 0.347320556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23755 ÷ 215
    23755 ÷ 32768     		y = 0.724945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.30535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95931324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.44989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41337154839774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95931324} λ = -0.95931324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41337154839774))-π/2
    2×atan(0.243321528329813)-π/2
    2×0.238683233098924-π/2
    0.477366466197848-1.57079632675     		φ = -1.09342986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95931324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09342986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.648916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11381 KachelY 23755 -0.95931324 -1.09342986 -54.964600 -62.648916
    Oben rechts KachelX + 1 11382 KachelY 23755 -0.95912149 -1.09342986 -54.953613 -62.648916
    Unten links KachelX 11381 KachelY + 1 23756 -0.95931324 -1.09351795 -54.964600 -62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 11382 KachelY + 1 23756 -0.95912149 -1.09351795 -54.953613 -62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09342986--1.09351795) × R
    8.80899999999851e-05 × 6371000     		dl = 561.221389999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09342986--1.09351795) × R
    8.80899999999851e-05 × 6371000     		dr = 561.221389999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95931324--0.95912149) × cos(-1.09342986) × R
    0.000191749999999935 × 0.459441646326574 × 6371000     		do = 561.271948236971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95931324--0.95912149) × cos(-1.09351795) × R
    0.000191749999999935 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 561.176362269391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09342986)-sin(-1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459441646326574-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.95912149--0.95931324)×7.82440213672464e-05×R²
    0.000191749999999935×7.82440213672464e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.82440213672464e-05×40589641000000     		ar = 314971.000716339m²