Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11381 / 23732
↖ ↑ ↗
← S 62.532594°
W 54.964600°		 ← 563.47 m → S 62.532594°
W 54.953613°		 →
↑
563.45 m
↓
↑
563.45 m
↓
S 62.537662°
W 54.964600°		 ← 563.38 m →
317 463 m²		 S 62.537662°
W 54.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347335815429688 y=0.724258422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347335815429688 × 215)
    floor (0.347335815429688 × 32768)
    floor (11381.5)     		tx = 11381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724258422851562 × 215)
    floor (0.724258422851562 × 32768)
    floor (23732.5)     		ty = 23732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11381 / 23732 ti = "15/11381/23732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11381/23732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11381 ÷ 215
    11381 ÷ 32768     		x = 0.347320556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23732 ÷ 215
    23732 ÷ 32768     		y = 0.7242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.30535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95931324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40896135363269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95931324} λ = -0.95931324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40896135363269))-π/2
    2×atan(0.244396993422404)-π/2
    2×0.239698332835378-π/2
    0.479396665670756-1.57079632675     		φ = -1.09139966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95931324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09139966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.532594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11381 KachelY 23732 -0.95931324 -1.09139966 -54.964600 -62.532594
    Oben rechts KachelX + 1 11382 KachelY 23732 -0.95912149 -1.09139966 -54.953613 -62.532594
    Unten links KachelX 11381 KachelY + 1 23733 -0.95931324 -1.09148810 -54.964600 -62.537662
    Unten rechts KachelX + 1 11382 KachelY + 1 23733 -0.95912149 -1.09148810 -54.953613 -62.537662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09139966--1.09148810) × R
    8.84400000000785e-05 × 6371000     		dl = 563.4512400005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09139966--1.09148810) × R
    8.84400000000785e-05 × 6371000     		dr = 563.4512400005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95931324--0.95912149) × cos(-1.09139966) × R
    0.000191749999999935 × 0.461243938037942 × 6371000     		do = 563.473698531527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95931324--0.95912149) × cos(-1.09148810) × R
    0.000191749999999935 × 0.461165465777535 × 6371000     		du = 563.377833738177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09139966)-sin(-1.09148810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461243938037942-0.461165465777535)×R²
    abs(-0.95912149--0.95931324)×7.84722604073029e-05×R²
    0.000191749999999935×7.84722604073029e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.84722604073029e-05×40589641000000     		ar = 317462.946784205m²