Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113804 / 19356
↖ ↑ ↗
← N 77.525495°
E132.572021°		 ← 65.97 m → N 77.525495°
E132.574768°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.524902°
E132.572021°		 ← 65.98 m →
4 350 m²		 N 77.524902°
E132.574768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868259429931641 y=0.147678375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868259429931641 × 217)
    floor (0.868259429931641 × 131072)
    floor (113804.5)     		tx = 113804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147678375244141 × 217)
    floor (0.147678375244141 × 131072)
    floor (19356.5)     		ty = 19356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113804 / 19356 ti = "17/113804/19356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113804/19356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113804 ÷ 217
    113804 ÷ 131072     		x = 0.868255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19356 ÷ 217
    19356 ÷ 131072     		y = 0.147674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868255615234375 × 2 - 1) × π
    0.73651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31381827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147674560546875 × 2 - 1) × π
    0.70465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21372602445419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31381827} λ = 2.31381827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21372602445419))-π/2
    2×atan(9.14974513182556)-π/2
    2×1.46193573539712-π/2
    2.92387147079424-1.57079632675     		φ = 1.35307514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31381827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.572021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35307514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.525495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113804 KachelY 19356 2.31381827 1.35307514 132.572021 77.525495
    Oben rechts KachelX + 1 113805 KachelY 19356 2.31386621 1.35307514 132.574768 77.525495
    Unten links KachelX 113804 KachelY + 1 19357 2.31381827 1.35306479 132.572021 77.524902
    Unten rechts KachelX + 1 113805 KachelY + 1 19357 2.31386621 1.35306479 132.574768 77.524902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35307514-1.35306479) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dl = 65.939850001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35307514-1.35306479) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dr = 65.939850001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31381827-2.31386621) × cos(1.35307514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21600517037944 × 6371000     		do = 65.9735390069232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31381827-2.31386621) × cos(1.35306479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216015276027342 × 6371000     		du = 65.976625531912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35307514)-sin(1.35306479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21600517037944-0.216015276027342)×R²
    abs(2.31386621-2.31381827)×1.01056479026584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01056479026584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01056479026584e-05×40589641000000     		ar = 4350.38702857245m²