Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113803 / 17940
↖ ↑ ↗
← N 78.338312°
E132.569275°		 ← 61.74 m → N 78.338312°
E132.572021°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.337757°
E132.569275°		 ← 61.74 m →
3 811 m²		 N 78.337757°
E132.572021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868251800537109 y=0.136875152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868251800537109 × 217)
    floor (0.868251800537109 × 131072)
    floor (113803.5)     		tx = 113803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136875152587891 × 217)
    floor (0.136875152587891 × 131072)
    floor (17940.5)     		ty = 17940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113803 / 17940 ti = "17/113803/17940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113803/17940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113803 ÷ 217
    113803 ÷ 131072     		x = 0.868247985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17940 ÷ 217
    17940 ÷ 131072     		y = 0.136871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868247985839844 × 2 - 1) × π
    0.736495971679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.31377033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136871337890625 × 2 - 1) × π
    0.72625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28160467431619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31377033} λ = 2.31377033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28160467431619))-π/2
    2×atan(9.79238139159189)-π/2
    2×1.46902890460059-π/2
    2.93805780920118-1.57079632675     		φ = 1.36726148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31377033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.569275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36726148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.338312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113803 KachelY 17940 2.31377033 1.36726148 132.569275 78.338312
    Oben rechts KachelX + 1 113804 KachelY 17940 2.31381827 1.36726148 132.572021 78.338312
    Unten links KachelX 113803 KachelY + 1 17941 2.31377033 1.36725179 132.569275 78.337757
    Unten rechts KachelX + 1 113804 KachelY + 1 17941 2.31381827 1.36725179 132.572021 78.337757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36726148-1.36725179) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36726148-1.36725179) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31377033-2.31381827) × cos(1.36726148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202132467582425 × 6371000     		do = 61.7364584893478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31377033-2.31381827) × cos(1.36725179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202141957553803 × 6371000     		du = 61.7393569708783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36726148)-sin(1.36725179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202132467582425-0.202141957553803)×R²
    abs(2.31381827-2.31377033)×9.48997137725782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48997137725782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48997137725782e-06×40589641000000     		ar = 3811.38911647648m²