Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11380 / 23788
↖ ↑ ↗
← S 62.815019°
W 54.975586°		 ← 558.09 m → S 62.815019°
W 54.964600°		 →
↑
558.04 m
↓
↑
558.04 m
↓
S 62.820037°
W 54.975586°		 ← 558 m →
311 410 m²		 S 62.820037°
W 54.964600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347305297851562 y=0.725967407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347305297851562 × 215)
    floor (0.347305297851562 × 32768)
    floor (11380.5)     		tx = 11380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725967407226562 × 215)
    floor (0.725967407226562 × 32768)
    floor (23788.5)     		ty = 23788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11380 / 23788 ti = "15/11380/23788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11380/23788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11380 ÷ 215
    11380 ÷ 32768     		x = 0.3472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23788 ÷ 215
    23788 ÷ 32768     		y = 0.7259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95950498} λ = -0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41969921914758))-π/2
    2×atan(0.241786730780004)-π/2
    2×0.2372337145772-π/2
    0.474467429154399-1.57079632675     		φ = -1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11380 KachelY 23788 -0.95950498 -1.09632890 -54.975586 -62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 11381 KachelY 23788 -0.95931324 -1.09632890 -54.964600 -62.815019
    Unten links KachelX 11380 KachelY + 1 23789 -0.95950498 -1.09641649 -54.975586 -62.820037
    Unten rechts KachelX + 1 11381 KachelY + 1 23789 -0.95931324 -1.09641649 -54.964600 -62.820037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09632890--1.09641649) × R
    8.75899999999152e-05 × 6371000     		dl = 558.03588999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09632890--1.09641649) × R
    8.75899999999152e-05 × 6371000     		dr = 558.03588999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95950498--0.95931324) × cos(-1.09632890) × R
    0.000191739999999996 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 558.094826736767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95950498--0.95931324) × cos(-1.09641649) × R
    0.000191739999999996 × 0.456786852643061 × 6371000     		du = 557.999646182335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09632890)-sin(-1.09641649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.456786852643061)×R²
    abs(-0.95931324--0.95950498)×7.79162248384369e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79162248384369e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79162248384369e-05×40589641000000     		ar = 311410.386458281m²