Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113794 / 19327
↖ ↑ ↗
← N 77.542688°
E132.544556°		 ← 65.88 m → N 77.542688°
E132.547302°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.542096°
E132.544556°		 ← 65.89 m →
4 340 m²		 N 77.542096°
E132.547302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868183135986328 y=0.147457122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868183135986328 × 217)
    floor (0.868183135986328 × 131072)
    floor (113794.5)     		tx = 113794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147457122802734 × 217)
    floor (0.147457122802734 × 131072)
    floor (19327.5)     		ty = 19327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113794 / 19327 ti = "17/113794/19327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113794/19327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113794 ÷ 217
    113794 ÷ 131072     		x = 0.868179321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19327 ÷ 217
    19327 ÷ 131072     		y = 0.147453308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868179321289062 × 2 - 1) × π
    0.736358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31333890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147453308105469 × 2 - 1) × π
    0.705093383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21511619454317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31333890} λ = 2.31333890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21511619454317))-π/2
    2×atan(9.16247367920264)-π/2
    2×1.46208577550402-π/2
    2.92417155100803-1.57079632675     		φ = 1.35337522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31333890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.544556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35337522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113794 KachelY 19327 2.31333890 1.35337522 132.544556 77.542688
    Oben rechts KachelX + 1 113795 KachelY 19327 2.31338684 1.35337522 132.547302 77.542688
    Unten links KachelX 113794 KachelY + 1 19328 2.31333890 1.35336488 132.544556 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 113795 KachelY + 1 19328 2.31338684 1.35336488 132.547302 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35337522-1.35336488) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35337522-1.35336488) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31333890-2.31338684) × cos(1.35337522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215712164881182 × 6371000     		do = 65.8840475857937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31333890-2.31338684) × cos(1.35336488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 65.8871313332066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35337522)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215712164881182-0.215722261434972)×R²
    abs(2.31338684-2.31333890)×1.00965537904729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00965537904729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00965537904729e-05×40589641000000     		ar = 4340.28831537562m²