Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 113788 / 19300
↖ ↑ ↗
← N 77.558675°
E132.528076°		 ← 65.80 m → N 77.558675°
E132.530823°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.558084°
E132.528076°		 ← 65.80 m →
4 326 m²		 N 77.558084°
E132.530823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868137359619141 y=0.147251129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868137359619141 × 217)
    floor (0.868137359619141 × 131072)
    floor (113788.5)     		tx = 113788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147251129150391 × 217)
    floor (0.147251129150391 × 131072)
    floor (19300.5)     		ty = 19300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113788 / 19300 ti = "17/113788/19300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113788/19300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113788 ÷ 217
    113788 ÷ 131072     		x = 0.868133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19300 ÷ 217
    19300 ÷ 131072     		y = 0.147247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868133544921875 × 2 - 1) × π
    0.73626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31305128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147247314453125 × 2 - 1) × π
    0.70550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21641049083292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31305128} λ = 2.31305128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21641049083292))-π/2
    2×atan(9.17434031270376)-π/2
    2×1.4622252850505-π/2
    2.924450570101-1.57079632675     		φ = 1.35365424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31305128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.528076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35365424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.558675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113788 KachelY 19300 2.31305128 1.35365424 132.528076 77.558675
    Oben rechts KachelX + 1 113789 KachelY 19300 2.31309922 1.35365424 132.530823 77.558675
    Unten links KachelX 113788 KachelY + 1 19301 2.31305128 1.35364392 132.528076 77.558084
    Unten rechts KachelX + 1 113789 KachelY + 1 19301 2.31309922 1.35364392 132.530823 77.558084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35365424-1.35364392) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dl = 65.7487200007589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35365424-1.35364392) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dr = 65.7487200007589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31305128-2.31309922) × cos(1.35365424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215439705457309 × 6371000     		do = 65.8008314646374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31305128-2.31309922) × cos(1.35364392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215449783102767 × 6371000     		du = 65.8039094369588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35365424)-sin(1.35364392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215439705457309-0.215449783102767)×R²
    abs(2.31309922-2.31305128)×1.007764545774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.007764545774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.007764545774e-05×40589641000000     		ar = 4326.42163010415m²