Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113784 / 19320
↖ ↑ ↗
← N 77.546835°
E132.517090°		 ← 65.86 m → N 77.546835°
E132.519836°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.546243°
E132.517090°		 ← 65.87 m →
4 339 m²		 N 77.546243°
E132.519836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868106842041016 y=0.147403717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868106842041016 × 217)
    floor (0.868106842041016 × 131072)
    floor (113784.5)     		tx = 113784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147403717041016 × 217)
    floor (0.147403717041016 × 131072)
    floor (19320.5)     		ty = 19320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113784 / 19320 ti = "17/113784/19320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113784/19320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113784 ÷ 217
    113784 ÷ 131072     		x = 0.86810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19320 ÷ 217
    19320 ÷ 131072     		y = 0.14739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86810302734375 × 2 - 1) × π
    0.7362060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.31285953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14739990234375 × 2 - 1) × π
    0.7052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21545175284052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31285953} λ = 2.31285953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21545175284052))-π/2
    2×atan(9.16554873917195)-π/2
    2×1.46212196157802-π/2
    2.92424392315604-1.57079632675     		φ = 1.35344760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31285953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.517090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35344760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.546835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113784 KachelY 19320 2.31285953 1.35344760 132.517090 77.546835
    Oben rechts KachelX + 1 113785 KachelY 19320 2.31290747 1.35344760 132.519836 77.546835
    Unten links KachelX 113784 KachelY + 1 19321 2.31285953 1.35343726 132.517090 77.546243
    Unten rechts KachelX + 1 113785 KachelY + 1 19321 2.31290747 1.35343726 132.519836 77.546243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35344760-1.35343726) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35344760-1.35343726) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31285953-2.31290747) × cos(1.35344760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215641488358945 × 6371000     		do = 65.8624611566889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31285953-2.31290747) × cos(1.35343726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215651585074154 × 6371000     		du = 65.8655449534031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35344760)-sin(1.35343726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215641488358945-0.215651585074154)×R²
    abs(2.31290747-2.31285953)×1.00967152087683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00967152087683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00967152087683e-05×40589641000000     		ar = 4338.86628633561m²