Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113783 / 19319
↖ ↑ ↗
← N 77.547427°
E132.514343°		 ← 65.85 m → N 77.547427°
E132.517090°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.546835°
E132.514343°		 ← 65.85 m →
4 334 m²		 N 77.546835°
E132.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868099212646484 y=0.147396087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868099212646484 × 217)
    floor (0.868099212646484 × 131072)
    floor (113783.5)     		tx = 113783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147396087646484 × 217)
    floor (0.147396087646484 × 131072)
    floor (19319.5)     		ty = 19319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113783 / 19319 ti = "17/113783/19319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113783/19319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113783 ÷ 217
    113783 ÷ 131072     		x = 0.868095397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19319 ÷ 217
    19319 ÷ 131072     		y = 0.147392272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868095397949219 × 2 - 1) × π
    0.736190795898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.31281160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147392272949219 × 2 - 1) × π
    0.705215454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21549968974014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31281160} λ = 2.31281160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21549968974014))-π/2
    2×atan(9.16598811769296)-π/2
    2×1.46212713004933-π/2
    2.92425426009866-1.57079632675     		φ = 1.35345793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31281160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.514343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35345793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.547427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113783 KachelY 19319 2.31281160 1.35345793 132.514343 77.547427
    Oben rechts KachelX + 1 113784 KachelY 19319 2.31285953 1.35345793 132.517090 77.547427
    Unten links KachelX 113783 KachelY + 1 19320 2.31281160 1.35344760 132.514343 77.546835
    Unten rechts KachelX + 1 113784 KachelY + 1 19320 2.31285953 1.35344760 132.517090 77.546835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35345793-1.35344760) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35345793-1.35344760) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31281160-2.31285953) × cos(1.35345793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215631401385429 × 6371000     		do = 65.8456424588397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31281160-2.31285953) × cos(1.35344760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215641488358945 × 6371000     		du = 65.8487226375491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35345793)-sin(1.35344760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215631401385429-0.215641488358945)×R²
    abs(2.31285953-2.31281160)×1.0086973515927e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0086973515927e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0086973515927e-05×40589641000000     		ar = 4333.56309217006m²