Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113781 / 19334
↖ ↑ ↗
← N 77.538541°
E132.508850°		 ← 65.91 m → N 77.538541°
E132.511597°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.537948°
E132.508850°		 ← 65.91 m →
4 346 m²		 N 77.537948°
E132.511597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868083953857422 y=0.147510528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868083953857422 × 217)
    floor (0.868083953857422 × 131072)
    floor (113781.5)     		tx = 113781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147510528564453 × 217)
    floor (0.147510528564453 × 131072)
    floor (19334.5)     		ty = 19334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113781 / 19334 ti = "17/113781/19334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113781/19334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113781 ÷ 217
    113781 ÷ 131072     		x = 0.868080139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19334 ÷ 217
    19334 ÷ 131072     		y = 0.147506713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868080139160156 × 2 - 1) × π
    0.736160278320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.31271572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147506713867188 × 2 - 1) × π
    0.704986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21478063624583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31271572} λ = 2.31271572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21478063624583))-π/2
    2×atan(9.15939965092211)-π/2
    2×1.4620495775714-π/2
    2.92409915514281-1.57079632675     		φ = 1.35330283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31271572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.508850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35330283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.538541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113781 KachelY 19334 2.31271572 1.35330283 132.508850 77.538541
    Oben rechts KachelX + 1 113782 KachelY 19334 2.31276366 1.35330283 132.511597 77.538541
    Unten links KachelX 113781 KachelY + 1 19335 2.31271572 1.35329248 132.508850 77.537948
    Unten rechts KachelX + 1 113782 KachelY + 1 19335 2.31276366 1.35329248 132.511597 77.537948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35330283-1.35329248) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dl = 65.939850001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35330283-1.35329248) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dr = 65.939850001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31271572-2.31276366) × cos(1.35330283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215782850037745 × 6371000     		do = 65.9056366520441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31271572-2.31276366) × cos(1.35329248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215792956194434 × 6371000     		du = 65.9087233324293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35330283)-sin(1.35329248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215782850037745-0.215792956194434)×R²
    abs(2.31276366-2.31271572)×1.01061566885607e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01061566885607e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01061566885607e-05×40589641000000     		ar = 4345.90956275391m²