Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113778 / 19307
↖ ↑ ↗
← N 77.554532°
E132.500610°		 ← 65.82 m → N 77.554532°
E132.503357°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.553941°
E132.500610°		 ← 65.83 m →
4 332 m²		 N 77.553941°
E132.503357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868061065673828 y=0.147304534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868061065673828 × 217)
    floor (0.868061065673828 × 131072)
    floor (113778.5)     		tx = 113778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147304534912109 × 217)
    floor (0.147304534912109 × 131072)
    floor (19307.5)     		ty = 19307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113778 / 19307 ti = "17/113778/19307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113778/19307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113778 ÷ 217
    113778 ÷ 131072     		x = 0.868057250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19307 ÷ 217
    19307 ÷ 131072     		y = 0.147300720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868057250976562 × 2 - 1) × π
    0.736114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31257191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147300720214844 × 2 - 1) × π
    0.705398559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.21607493253558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31257191} λ = 2.31257191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21607493253558))-π/2
    2×atan(9.17126230314391)-π/2
    2×1.46218913283787-π/2
    2.92437826567575-1.57079632675     		φ = 1.35358194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31257191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.500610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35358194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.554532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113778 KachelY 19307 2.31257191 1.35358194 132.500610 77.554532
    Oben rechts KachelX + 1 113779 KachelY 19307 2.31261985 1.35358194 132.503357 77.554532
    Unten links KachelX 113778 KachelY + 1 19308 2.31257191 1.35357161 132.500610 77.553941
    Unten rechts KachelX + 1 113779 KachelY + 1 19308 2.31261985 1.35357161 132.503357 77.553941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35358194-1.35357161) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35358194-1.35357161) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31257191-2.31261985) × cos(1.35358194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215510307083705 × 6371000     		do = 65.8223950186246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31257191-2.31261985) × cos(1.35357161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215520394333378 × 6371000     		du = 65.8254759243207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35358194)-sin(1.35357161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215510307083705-0.215520394333378)×R²
    abs(2.31261985-2.31257191)×1.00872496736903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00872496736903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00872496736903e-05×40589641000000     		ar = 4332.0331457683m²