Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113752 / 17977
↖ ↑ ↗
← N 78.317753°
E132.429199°		 ← 61.84 m → N 78.317753°
E132.431946°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.317197°
E132.429199°		 ← 61.85 m →
3 826 m²		 N 78.317197°
E132.431946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867862701416016 y=0.137157440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867862701416016 × 217)
    floor (0.867862701416016 × 131072)
    floor (113752.5)     		tx = 113752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137157440185547 × 217)
    floor (0.137157440185547 × 131072)
    floor (17977.5)     		ty = 17977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113752 / 17977 ti = "17/113752/17977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113752/17977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113752 ÷ 217
    113752 ÷ 131072     		x = 0.86785888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17977 ÷ 217
    17977 ÷ 131072     		y = 0.137153625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86785888671875 × 2 - 1) × π
    0.7357177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31132555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137153625488281 × 2 - 1) × π
    0.725692749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.27983100903025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31132555} λ = 2.31132555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27983100903025))-π/2
    2×atan(9.77502837841867)-π/2
    2×1.46884949115579-π/2
    2.93769898231159-1.57079632675     		φ = 1.36690266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31132555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.429199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36690266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.317753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113752 KachelY 17977 2.31132555 1.36690266 132.429199 78.317753
    Oben rechts KachelX + 1 113753 KachelY 17977 2.31137349 1.36690266 132.431946 78.317753
    Unten links KachelX 113752 KachelY + 1 17978 2.31132555 1.36689295 132.429199 78.317197
    Unten rechts KachelX + 1 113753 KachelY + 1 17978 2.31137349 1.36689295 132.431946 78.317197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36690266-1.36689295) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36690266-1.36689295) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31132555-2.31137349) × cos(1.36690266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202483867868387 × 6371000     		do = 61.8437851817237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31132555-2.31137349) × cos(1.36689295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202493376722002 × 6371000     		du = 61.8466894303756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36690266)-sin(1.36689295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202483867868387-0.202493376722002)×R²
    abs(2.31137349-2.31132555)×9.50885361494791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50885361494791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50885361494791e-06×40589641000000     		ar = 3825.89542685254m²