Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113751 / 17969
↖ ↑ ↗
← N 78.322201°
E132.426453°		 ← 61.81 m → N 78.322201°
E132.429199°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.321646°
E132.426453°		 ← 61.81 m →
3 820 m²		 N 78.321646°
E132.429199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867855072021484 y=0.137096405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867855072021484 × 217)
    floor (0.867855072021484 × 131072)
    floor (113751.5)     		tx = 113751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137096405029297 × 217)
    floor (0.137096405029297 × 131072)
    floor (17969.5)     		ty = 17969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113751 / 17969 ti = "17/113751/17969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113751/17969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113751 ÷ 217
    113751 ÷ 131072     		x = 0.867851257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17969 ÷ 217
    17969 ÷ 131072     		y = 0.137092590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867851257324219 × 2 - 1) × π
    0.735702514648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.31127762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137092590332031 × 2 - 1) × π
    0.725814819335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28021450422721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31127762} λ = 2.31127762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28021450422721))-π/2
    2×atan(9.77877777374354)-π/2
    2×1.46888830966237-π/2
    2.93777661932473-1.57079632675     		φ = 1.36698029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31127762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.426453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36698029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.322201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113751 KachelY 17969 2.31127762 1.36698029 132.426453 78.322201
    Oben rechts KachelX + 1 113752 KachelY 17969 2.31132555 1.36698029 132.429199 78.322201
    Unten links KachelX 113751 KachelY + 1 17970 2.31127762 1.36697059 132.426453 78.321646
    Unten rechts KachelX + 1 113752 KachelY + 1 17970 2.31132555 1.36697059 132.429199 78.321646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36698029-1.36697059) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dl = 61.7987000007161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36698029-1.36697059) × R
    9.7000000001124e-06 × 6371000     		dr = 61.7987000007161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31127762-2.31132555) × cos(1.36698029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202407845317332 × 6371000     		do = 61.8076705340645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31127762-2.31132555) × cos(1.36697059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202417344530559 × 6371000     		du = 61.8105712330986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36698029)-sin(1.36697059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202407845317332-0.202417344530559)×R²
    abs(2.31132555-2.31127762)×9.49921322621061e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.49921322621061e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.49921322621061e-06×40589641000000     		ar = 3819.72331869489m²