Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113745 / 17970
↖ ↑ ↗
← N 78.321646°
E132.409973°		 ← 61.82 m → N 78.321646°
E132.412720°		 →
↑
61.80 m
↓
↑
61.80 m
↓
N 78.321090°
E132.409973°		 ← 61.83 m →
3 821 m²		 N 78.321090°
E132.412720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867809295654297 y=0.137104034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867809295654297 × 217)
    floor (0.867809295654297 × 131072)
    floor (113745.5)     		tx = 113745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137104034423828 × 217)
    floor (0.137104034423828 × 131072)
    floor (17970.5)     		ty = 17970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113745 / 17970 ti = "17/113745/17970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113745/17970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113745 ÷ 217
    113745 ÷ 131072     		x = 0.867805480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17970 ÷ 217
    17970 ÷ 131072     		y = 0.137100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867805480957031 × 2 - 1) × π
    0.735610961914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.31098999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137100219726562 × 2 - 1) × π
    0.725799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28016656732759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31098999} λ = 2.31098999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28016656732759))-π/2
    2×atan(9.77830902069037)-π/2
    2×1.46888345814627-π/2
    2.93776691629254-1.57079632675     		φ = 1.36697059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31098999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.409973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36697059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.321646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113745 KachelY 17970 2.31098999 1.36697059 132.409973 78.321646
    Oben rechts KachelX + 1 113746 KachelY 17970 2.31103793 1.36697059 132.412720 78.321646
    Unten links KachelX 113745 KachelY + 1 17971 2.31098999 1.36696089 132.409973 78.321090
    Unten rechts KachelX + 1 113746 KachelY + 1 17971 2.31103793 1.36696089 132.412720 78.321090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36697059-1.36696089) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dl = 61.7986999993014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36697059-1.36696089) × R
    9.69999999989035e-06 × 6371000     		dr = 61.7986999993014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31098999-2.31103793) × cos(1.36697059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202417344530559 × 6371000     		do = 61.8234672420403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31098999-2.31103793) × cos(1.36696089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202426843724739 × 6371000     		du = 61.8263685404523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36697059)-sin(1.36696089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202417344530559-0.202426843724739)×R²
    abs(2.31103793-2.31098999)×9.49919418055667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49919418055667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49919418055667e-06×40589641000000     		ar = 3820.69955326723m²