Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11374 / 23787
↖ ↑ ↗
← S 62.809999°
W 55.041504°		 ← 558.22 m → S 62.809999°
W 55.030518°		 →
↑
558.16 m
↓
↑
558.16 m
↓
S 62.815019°
W 55.041504°		 ← 558.12 m →
311 551 m²		 S 62.815019°
W 55.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347122192382812 y=0.725936889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347122192382812 × 215)
    floor (0.347122192382812 × 32768)
    floor (11374.5)     		tx = 11374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725936889648438 × 215)
    floor (0.725936889648438 × 32768)
    floor (23787.5)     		ty = 23787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11374 / 23787 ti = "15/11374/23787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11374/23787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11374 ÷ 215
    11374 ÷ 32768     		x = 0.34710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23787 ÷ 215
    23787 ÷ 32768     		y = 0.725921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96065547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.45184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4195074715491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96065547} λ = -0.96065547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4195074715491))-π/2
    2×atan(0.241833097250163)-π/2
    2×0.237277519674208-π/2
    0.474555039348417-1.57079632675     		φ = -1.09624129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96065547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09624129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.809999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11374 KachelY 23787 -0.96065547 -1.09624129 -55.041504 -62.809999
    Oben rechts KachelX + 1 11375 KachelY 23787 -0.96046372 -1.09624129 -55.030518 -62.809999
    Unten links KachelX 11374 KachelY + 1 23788 -0.96065547 -1.09632890 -55.041504 -62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 11375 KachelY + 1 23788 -0.96046372 -1.09632890 -55.030518 -62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09624129--1.09632890) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dl = 558.1633100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09624129--1.09632890) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dr = 558.1633100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96065547--0.96046372) × cos(-1.09624129) × R
    0.000191749999999935 × 0.45694269937759 × 6371000     		do = 558.219136560426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96065547--0.96046372) × cos(-1.09632890) × R
    0.000191749999999935 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 558.123933591015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09624129)-sin(-1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45694269937759-0.456864768867899)×R²
    abs(-0.96046372--0.96065547)×7.79305096911265e-05×R²
    0.000191749999999935×7.79305096911265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.79305096911265e-05×40589641000000     		ar = 311550.871764841m²