Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113736 / 17975
↖ ↑ ↗
← N 78.318866°
E132.385254°		 ← 61.84 m → N 78.318866°
E132.388001°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.318309°
E132.385254°		 ← 61.84 m →
3 826 m²		 N 78.318309°
E132.388001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867740631103516 y=0.137142181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867740631103516 × 217)
    floor (0.867740631103516 × 131072)
    floor (113736.5)     		tx = 113736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137142181396484 × 217)
    floor (0.137142181396484 × 131072)
    floor (17975.5)     		ty = 17975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113736 / 17975 ti = "17/113736/17975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113736/17975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113736 ÷ 217
    113736 ÷ 131072     		x = 0.86773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17975 ÷ 217
    17975 ÷ 131072     		y = 0.137138366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86773681640625 × 2 - 1) × π
    0.7354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31055856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137138366699219 × 2 - 1) × π
    0.725723266601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27992688282949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31055856} λ = 2.31055856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27992688282949))-π/2
    2×atan(9.7759655924534)-π/2
    2×1.46885919714921-π/2
    2.93771839429842-1.57079632675     		φ = 1.36692207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31055856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.385254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36692207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.318866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113736 KachelY 17975 2.31055856 1.36692207 132.385254 78.318866
    Oben rechts KachelX + 1 113737 KachelY 17975 2.31060650 1.36692207 132.388001 78.318866
    Unten links KachelX 113736 KachelY + 1 17976 2.31055856 1.36691236 132.385254 78.318309
    Unten rechts KachelX + 1 113737 KachelY + 1 17976 2.31060650 1.36691236 132.388001 78.318309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36692207-1.36691236) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36692207-1.36691236) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31055856-2.31060650) × cos(1.36692207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20246485989678 × 6371000     		do = 61.8379796579299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31055856-2.31060650) × cos(1.36691236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202474368788557 × 6371000     		du = 61.8408839182373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36692207)-sin(1.36691236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20246485989678-0.202474368788557)×R²
    abs(2.31060650-2.31055856)×9.50889177642189e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.50889177642189e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.50889177642189e-06×40589641000000     		ar = 3825.53628345886m²