Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11372 / 23758
↖ ↑ ↗
← S 62.664055°
W 55.063476°		 ← 560.96 m → S 62.664055°
W 55.052490°		 →
↑
560.97 m
↓
↑
560.97 m
↓
S 62.669100°
W 55.063476°		 ← 560.86 m →
314 651 m²		 S 62.669100°
W 55.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347061157226562 y=0.725051879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347061157226562 × 215)
    floor (0.347061157226562 × 32768)
    floor (11372.5)     		tx = 11372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725051879882812 × 215)
    floor (0.725051879882812 × 32768)
    floor (23758.5)     		ty = 23758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11372 / 23758 ti = "15/11372/23758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11372/23758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11372 ÷ 215
    11372 ÷ 32768     		x = 0.3470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23758 ÷ 215
    23758 ÷ 32768     		y = 0.72503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96103896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41394679119318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96103896} λ = -0.96103896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41394679119318))-π/2
    2×atan(0.243181599624014)-π/2
    2×0.238551121605209-π/2
    0.477102243210418-1.57079632675     		φ = -1.09369408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96103896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.063476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09369408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.664055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11372 KachelY 23758 -0.96103896 -1.09369408 -55.063476 -62.664055
    Oben rechts KachelX + 1 11373 KachelY 23758 -0.96084722 -1.09369408 -55.052490 -62.664055
    Unten links KachelX 11372 KachelY + 1 23759 -0.96103896 -1.09378213 -55.063476 -62.669100
    Unten rechts KachelX + 1 11373 KachelY + 1 23759 -0.96084722 -1.09378213 -55.052490 -62.669100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09369408--1.09378213) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dl = 560.966550000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09369408--1.09378213) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dr = 560.966550000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96103896--0.96084722) × cos(-1.09369408) × R
    0.000191739999999996 × 0.459206947985775 × 6371000     		do = 560.955975457463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96103896--0.96084722) × cos(-1.09378213) × R
    0.000191739999999996 × 0.459128728809272 × 6371000     		du = 560.860424824687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09369408)-sin(-1.09378213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459206947985775-0.459128728809272)×R²
    abs(-0.96084722--0.96103896)×7.82191765036355e-05×R²
    0.000191739999999996×7.82191765036355e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.82191765036355e-05×40589641000000     		ar = 314650.73810348m²