Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11372 / 23753
↖ ↑ ↗
← S 62.638820°
W 55.063476°		 ← 561.43 m → S 62.638820°
W 55.052490°		 →
↑
561.41 m
↓
↑
561.41 m
↓
S 62.643868°
W 55.063476°		 ← 561.34 m →
315 169 m²		 S 62.643868°
W 55.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347061157226562 y=0.724899291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347061157226562 × 215)
    floor (0.347061157226562 × 32768)
    floor (11372.5)     		tx = 11372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724899291992188 × 215)
    floor (0.724899291992188 × 32768)
    floor (23753.5)     		ty = 23753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11372 / 23753 ti = "15/11372/23753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11372/23753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11372 ÷ 215
    11372 ÷ 32768     		x = 0.3470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23753 ÷ 215
    23753 ÷ 32768     		y = 0.724884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96103896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.44976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41298805320078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96103896} λ = -0.96103896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41298805320078))-π/2
    2×atan(0.243414858862006)-π/2
    2×0.23877134493632-π/2
    0.47754268987264-1.57079632675     		φ = -1.09325364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96103896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.063476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09325364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.638820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11372 KachelY 23753 -0.96103896 -1.09325364 -55.063476 -62.638820
    Oben rechts KachelX + 1 11373 KachelY 23753 -0.96084722 -1.09325364 -55.052490 -62.638820
    Unten links KachelX 11372 KachelY + 1 23754 -0.96103896 -1.09334176 -55.063476 -62.643868
    Unten rechts KachelX + 1 11373 KachelY + 1 23754 -0.96084722 -1.09334176 -55.052490 -62.643868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09325364--1.09334176) × R
    8.81200000000248e-05 × 6371000     		dl = 561.412520000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09325364--1.09334176) × R
    8.81200000000248e-05 × 6371000     		dr = 561.412520000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96103896--0.96084722) × cos(-1.09325364) × R
    0.000191739999999996 × 0.459598159198189 × 6371000     		do = 561.433869505521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96103896--0.96084722) × cos(-1.09334176) × R
    0.000191739999999996 × 0.459519895664419 × 6371000     		du = 561.338264686994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09325364)-sin(-1.09334176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459598159198189-0.459519895664419)×R²
    abs(-0.96084722--0.96103896)×7.8263533770162e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8263533770162e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8263533770162e-05×40589641000000     		ar = 315169.166825543m²