Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11371 / 23757
↖ ↑ ↗
← S 62.659009°
W 55.074463°		 ← 561.08 m → S 62.659009°
W 55.063476°		 →
↑
561.03 m
↓
↑
561.03 m
↓
S 62.664055°
W 55.074463°		 ← 560.99 m →
314 756 m²		 S 62.664055°
W 55.063476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347030639648438 y=0.725021362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347030639648438 × 215)
    floor (0.347030639648438 × 32768)
    floor (11371.5)     		tx = 11371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725021362304688 × 215)
    floor (0.725021362304688 × 32768)
    floor (23757.5)     		ty = 23757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11371 / 23757 ti = "15/11371/23757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11371/23757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11371 ÷ 215
    11371 ÷ 32768     		x = 0.347015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23757 ÷ 215
    23757 ÷ 32768     		y = 0.725006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.30596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96123071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4137550435947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96123071} λ = -0.96123071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4137550435947))-π/2
    2×atan(0.243228233582569)-π/2
    2×0.238595151269378-π/2
    0.477190302538756-1.57079632675     		φ = -1.09360602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96123071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.074463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09360602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.659009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11371 KachelY 23757 -0.96123071 -1.09360602 -55.074463 -62.659009
    Oben rechts KachelX + 1 11372 KachelY 23757 -0.96103896 -1.09360602 -55.063476 -62.659009
    Unten links KachelX 11371 KachelY + 1 23758 -0.96123071 -1.09369408 -55.074463 -62.664055
    Unten rechts KachelX + 1 11372 KachelY + 1 23758 -0.96103896 -1.09369408 -55.063476 -62.664055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09360602--1.09369408) × R
    8.80599999999454e-05 × 6371000     		dl = 561.030259999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09360602--1.09369408) × R
    8.80599999999454e-05 × 6371000     		dr = 561.030259999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96123071--0.96103896) × cos(-1.09360602) × R
    0.000191750000000046 × 0.459285172485027 × 6371000     		do = 561.080793650863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96123071--0.96103896) × cos(-1.09369408) × R
    0.000191750000000046 × 0.459206947985775 × 6371000     		du = 560.985231532266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09360602)-sin(-1.09369408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459285172485027-0.459206947985775)×R²
    abs(-0.96103896--0.96123071)×7.82244992516556e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82244992516556e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82244992516556e-05×40589641000000     		ar = 314756.497126018m²