Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 113702 / 18013
↖ ↑ ↗
← N 78.297715°
E132.291870°		 ← 61.94 m → N 78.297715°
E132.294616°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.297158°
E132.291870°		 ← 61.94 m →
3 839 m²		 N 78.297158°
E132.294616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 113702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867481231689453 y=0.137432098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867481231689453 × 217)
    floor (0.867481231689453 × 131072)
    floor (113702.5)     		tx = 113702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137432098388672 × 217)
    floor (0.137432098388672 × 131072)
    floor (18013.5)     		ty = 18013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 113702 / 18013 ti = "17/113702/18013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/113702/18013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 113702 ÷ 217
    113702 ÷ 131072     		x = 0.867477416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18013 ÷ 217
    18013 ÷ 131072     		y = 0.137428283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867477416992188 × 2 - 1) × π
    0.734954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30892871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137428283691406 × 2 - 1) × π
    0.725143432617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.27810528064393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30892871} λ = 2.30892871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27810528064393))-π/2
    2×atan(9.75817388179348)-π/2
    2×1.46867462735967-π/2
    2.93734925471933-1.57079632675     		φ = 1.36655293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30892871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.291870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36655293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.297715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 113702 KachelY 18013 2.30892871 1.36655293 132.291870 78.297715
    Oben rechts KachelX + 1 113703 KachelY 18013 2.30897664 1.36655293 132.294616 78.297715
    Unten links KachelX 113702 KachelY + 1 18014 2.30892871 1.36654320 132.291870 78.297158
    Unten rechts KachelX + 1 113703 KachelY + 1 18014 2.30897664 1.36654320 132.294616 78.297158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36655293-1.36654320) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36655293-1.36654320) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30892871-2.30897664) × cos(1.36655293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202826341030728 × 6371000     		do = 61.9354632346532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30892871-2.30897664) × cos(1.36654320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202835868780389 × 6371000     		du = 61.9383726476313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36655293)-sin(1.36654320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202826341030728-0.202835868780389)×R²
    abs(2.30897664-2.30892871)×9.52774966189729e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.52774966189729e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.52774966189729e-06×40589641000000     		ar = 3839.45901396845m²