Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1137 / 3291
↖ ↑ ↗
← S 73.099413°
W 80.068360°		 ← 2 841.12 m → S 73.099413°
W 79.980469°		 →
↑
2 839.05 m
↓
↑
2 839.05 m
↓
S 73.124945°
W 80.068360°		 ← 2 836.96 m →
8 060 165 m²		 S 73.124945°
W 79.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2777099609375 y=0.8035888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2777099609375 × 212)
    floor (0.2777099609375 × 4096)
    floor (1137.5)     		tx = 1137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8035888671875 × 212)
    floor (0.8035888671875 × 4096)
    floor (3291.5)     		ty = 3291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1137 / 3291 ti = "12/1137/3291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1137/3291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1137 ÷ 212
    1137 ÷ 4096     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3291 ÷ 212
    3291 ÷ 4096     		y = 0.803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90673811928735))-π/2
    2×atan(0.148564195787383)-π/2
    2×0.147485443201171-π/2
    0.294970886402342-1.57079632675     		φ = -1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1137 KachelY 3291 -1.39745650 -1.27582544 -80.068360 -73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 1138 KachelY 3291 -1.39592252 -1.27582544 -79.980469 -73.099413
    Unten links KachelX 1137 KachelY + 1 3292 -1.39745650 -1.27627106 -80.068360 -73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 1138 KachelY + 1 3292 -1.39592252 -1.27627106 -79.980469 -73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27582544--1.27627106) × R
    0.000445620000000035 × 6371000     		dl = 2839.04502000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27582544--1.27627106) × R
    0.000445620000000035 × 6371000     		dr = 2839.04502000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39592252) × cos(-1.27582544) × R
    0.00153398000000005 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 2841.12442014522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39592252) × cos(-1.27627106) × R
    0.00153398000000005 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 2836.95719137502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27582544)-sin(-1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290285591630776)×R²
    abs(-1.39592252--1.39745650)×0.000426402792645331×R²
    0.00153398000000005×0.000426402792645331×6371000²
    0.00153398000000005×0.000426402792645331×40589641000000     		ar = 8060164.7945514m²