Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1137 / 3206
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
W 80.068360°		 ← 3 216.12 m → S 70.786910°
W 79.980469°		 →
↑
3 213.79 m
↓
↑
3 213.79 m
↓
S 70.815812°
W 80.068360°		 ← 3 211.46 m →
10 328 438 m²		 S 70.815812°
W 79.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2777099609375 y=0.7828369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2777099609375 × 212)
    floor (0.2777099609375 × 4096)
    floor (1137.5)     		tx = 1137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7828369140625 × 212)
    floor (0.7828369140625 × 4096)
    floor (3206.5)     		ty = 3206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1137 / 3206 ti = "12/1137/3206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1137/3206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1137 ÷ 212
    1137 ÷ 4096     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3206 ÷ 212
    3206 ÷ 4096     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1137 KachelY 3206 -1.39745650 -1.23546464 -80.068360 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 1138 KachelY 3206 -1.39592252 -1.23546464 -79.980469 -70.786910
    Unten links KachelX 1137 KachelY + 1 3207 -1.39745650 -1.23596908 -80.068360 -70.815812
    Unten rechts KachelX + 1 1138 KachelY + 1 3207 -1.39592252 -1.23596908 -79.980469 -70.815812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23596908) × R
    0.00050444000000005 × 6371000     		dl = 3213.78724000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23596908) × R
    0.00050444000000005 × 6371000     		dr = 3213.78724000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39592252) × cos(-1.23546464) × R
    0.00153398000000005 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 3216.11788098492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39592252) × cos(-1.23596908) × R
    0.00153398000000005 × 0.328606015060954 × 6371000     		du = 3211.46217529807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23596908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.328606015060954)×R²
    abs(-1.39592252--1.39745650)×0.000476385150919523×R²
    0.00153398000000005×0.000476385150919523×6371000²
    0.00153398000000005×0.000476385150919523×40589641000000     		ar = 10328437.6034945m²